1、九章算術 卷第一 方田——方田術

原文

[1]今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？

答曰：一畝。

[2]今有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？

答曰：一百六十八步。

方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。

今譯：

[1]已知一塊長方形的田地寬15步，長16步。問這塊田地的面積是多少？

解：長方形田地面積=15×16=240（平方步）=1畝

[2] 已知一塊長方形的田地寬12步，長14步。問這塊田地的面積是多少？

解：長方形田地面積=12×14=168（平方步）=168÷240=0.7畝

計算“方田”面積的方法：長方形的長（步數）乘以寬（步數），所得的積為長方形田地的面積。用所得的積除以240，得數即為田地的畝數。規定：100畝=1頃。

評議：

《九章算術》是我國算經之首，整書的結構直接影響了中國古代數學約二千年的發展。古往今來，衆多數學家對她進行注釋，其中最有影響力的當屬東漢末年（魏）的劉徽。

現在我們繼續深挖《九章算術》的數學價值、文化價值和教育價值，首先要排除“一題、一解、一術”的錯誤認識，切勿簡單地認為《九章算術》隻是習題集，要盡可能地站在當時人們看問題的角度，挖掘其背後的真正價值。

對于“方田術”，筆者談談我個人的感法：

1、感歎古人（至少在東漢時代，甚至先秦時期）已經知道長方形（正方形）的面積公式，而且規定了1畝田标準，真心佩服中國勞動人民的聰明才智。

“方田”指長方形、正方形的田，“廣”為寬，“從”為長。“步”是古時計量長度和面積的單位，“畝”是古時計量面積的單位。

方田示意圖

方田術就是古人測量方田面積的辦法，即：方田的面積=長（步）×寬（步），得：積步。

實踐出真知，古時由于缺乏大尺度的測量工具，古人最早用腳來丈量，這是何等的聰明！當然“步”的誤差太大，如何來解決這個問題呢？秦漢六尺一步，唐代以後改為五尺一步。《九章算術》中的“步”均為：1步=6尺。

《九章算術》規定了1畝的面積（寬為15步，長為16步的長方形田地）。15×16=240（平方）步，相當于走完寬需要15步，然後再走16列（或者走完長需要16步，再走15行），共240步，這樣的方田面積就是1畝。如此說來，方田的面積是用“步”來丈量的，所以“步”既是長度單位，也是面積單位也就水到渠成了。

1畝240步示意圖

2、感歎古人已經會步、畝、頃之間的單位換算。

有了1畝的标準，就可以作比較。在實際測量“方田”時，各種數據都可能會出現？那麼如何将面積的小單位“步”轉換為大單位“畝”，又如何将大單位“畝”轉換為小單位“步”？《九章算術》給出了換算方法：“步”換“畝”，除以240；“畝”換“步”，乘以240。這類單位換算現代的小學生都可以輕松搞定，但是在當時生産力及其有限的條件下，勞動人民在長期實踐中總結歸納出如此重要的結論，是何其得不容易啊！

方田術中還規定了：100畝=1頃，為更大面積的計算提供了方便，也為畝與頃之間的單位換算提供了标準。這樣就實現了步、畝、頃之間的單位換算，其邏輯推理很是嚴密。

3、疑惑

筆者一直有個疑惑，（1）古人是如何知道或推導出長方形、正方形面積公式的呢？（2）“尺”的長度，各朝代的标準又有差異，其中的演變又是怎樣的呢？

參考文獻

1、肖作政編譯.《九章算術今解》.大連：遼甯人民出版社，1990

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!