非數學思維vs數學思維

在講什麼是數學思維之前，先說說什麼不是數學思維。

首先，聽衆人的意見不是數學思維，不是贊同的聲音越大越正确。事實上很多人湊在一起，智商常常不是增加而是下降。這就是所謂的群體效應。

其次，聽專家的意見不是數學思維。很多人在做判斷時會相信專家。絕大多數時候這是一個好習慣，但專家也有漏判和誤判的時候。2008—2009年的金融危機是曆史上危害僅次于1929—1933年全球大蕭條的經濟危機，它讓很多家庭傾家蕩産，包括很多極為富有、受教育程度很高的人。在金融危機之後，英國女王問全世界的經濟學家，這麼大的危機、這麼明顯的問題，你們這麼多人怎麼沒有一個人預測到呢？這讓經濟學家很沒面子。

其實英國女王多少有點錯怪經濟學家這個群體了。整體來看，他們當時确實是過于樂觀了，但也有一些經濟學家之前确實做過很多預警。而那些被預警的問題，一旦引起注意後，大多會被防範，之後就不再是問題。因此，換一個角度講，經濟學家已經幫助我們避免了很多次經濟危機。當然，經濟學家也不是神，總會有誤判的時候。當大部分人都出現誤判時，真正的危機就來了。但是，在那次金融危機中，還是有一些人利用數學思維避開了風險，而且賺得盆滿缽滿。

最後，數學思維不是通過以往的經驗或者多次試驗得到結論。這種方法更像是自然科學的思維方式，而不是數學的。事實上，很多時候，通過大量試驗所得到的結果依然可能是錯誤的。比如我們要比較10,000x和x2哪個大，如果從x=1開始試驗，一直試到100，都是10,000x大。但是如果我們因此得出結論10, 000x>x2，那就錯了。可能有人會問，為什麼不直接試試x=20,000呢？因為人們能夠想象到的例子常常受限于自身的認知。如果一個人平時接觸的數通常都是個位數的，他就很難想到10,000、20,000這些大很多的數。

還是在2008—2009年的金融危機中，有一次摩根士丹利私人财富管理部門召集客戶（都是非常有錢的人）開會分析當時的金融狀況。主講人說，根據曆次經濟危機時股市的表現，隻要實體經濟沒有受到重創，股市通常會下跌1/4~1/3。一位參會者馬上就說：“先生，你太樂觀了，我們現在正在創造曆史。”這位發言者的話很快被證實了，因為股市很快就跌了一半。這說明人的經驗通常是有局限性的。

那麼什麼是數學思維？它是從不可能變的事實出發，利用邏輯找出矛盾，發現問題，然後再設法解決問題。什麼是不變的事實呢？比如說宇宙中基本粒子的數量是有限的，任何經濟增長都不可能是長期翻番的，這些就是不變的事實。具體到金融中，一個不變的事實就是，任何建立在空中樓閣之上的複利增長都難以持續，比如龐氏騙局。

數學思維的應用

在2008—2009年金融危機中，有不少人靠各種智慧避開了厄運，甚至大賺特賺了一筆。這其中就包括商業嗅覺敏銳的人和善于運用數學思維的人。

像巴菲特這樣的人，他們能夠避開厄運，靠的就是長期以來培養出的商業嗅覺。巴菲特講，那些金融衍生品被包裝到大家看不懂的地步，一定是為了掩蓋很多真相，他堅決不參與那樣的賭博。這與其說是投資的智慧，不如說是人生的智慧，這種智慧常常不可複制。

另外還有一類人，則是靠數學思維賺了個盆滿缽滿。比如由數學家創立和運作的對沖基金公司文藝複興科技公司，2008年獲利80%，而同期的股市則被“腰斬”了。這些人出于對自身利益考慮，隻是悶聲發大财，不對外說，因此外面的人大多不知道。但其中一些人利用數學發現問題的故事還是廣為人知的，比如邁克爾·伯裡，他的故事被拍成了電影《大空頭》。

伯裡并不是職業投資人，而是一名數學很好的醫生。他做判斷的邏輯其實很簡單，就是我們常常說的“建立在空中樓閣之上的複利增長”從數學上講是無法長期為繼的。聽說過印度國際象棋故事的人都知道，如果翻番增長64次，一粒麥粒變出來的數量比全世界收獲的麥粒都多，這個道理大家都懂。但是，如果換一種表述方式，絕大部分人就糊塗了。比如某個家族的财富每年增長7%，有沒有可能持續幾千年？很多人覺得有可能，因為每年7%似乎不是什麼了不得的事情，而且美國的股市确實在上百年的時間裡做到了這樣的增長。但是，如果真的按照這樣的增長速度持續兩千多年，當年的陶朱公範蠡（中國古代有名的富豪）哪怕隻給後代留下一個銅闆，今天他的傳人所擁有的銅錢的數量就要達到宇宙中原子的數量，這顯然是做不到的事情。事實上，任何一種投資，在一開始基數較小的時候，很容易維持指數增長。但是，一旦基數變大，增長的速度就會慢下來，7%變成6%、5%、4%……如果還想不切實際地維持原來的增長率，那就是龐氏騙局了。

當龐氏騙局從翻番增長變為7%的增長時，很多人就已經看不出來了。當它再被漂亮地包裝幾次，就更不容易識别了。導緻2008—2009年金融危機的，恰恰是一種包裝得很漂亮的龐氏騙局，它的核心是一種叫作CDS（信用違約互換）的金融衍生品。

CDS的發明和克林頓擔任美國總統時的一項政策有關，即為了讓本來付不起首付的窮人也能買房子，允許銀行在提供通常的房貸之外還提供購房首付款的貸款。比如弗洛伊德先生想買一棟100萬美元的房子，通常他必須先支付20萬美元的首付，才有資格從銀行獲得80萬美元的貸款。如果他沒錢支付首付款，就沒有辦法購房。但這項政策允許他從A銀行獲得正常的80萬美元貸款的同時，還可以通過支付較高利息的方式從B銀行獲得針對20萬美元首付的貸款。為了區分這兩種貸款，前者我們也稱之為初級貸款，後者自然就被稱為次級貸款，簡稱次貸。

次級貸款相比初級貸款有兩個特點：

第一，利率高。

第二，風險大。風險大主要體現在出了問題之後。必須等到提供初級貸款的銀行拿回錢之後，才輪到提供次貸的銀行拿錢。比如弗洛伊德先生斷供了很長時間，銀行被迫收回房子拍賣，A銀行會先拿回自己的80萬美元貸款。剩餘的錢，才輪到B銀行拿回。

如果房價一直上漲，這倒不是問題。比如100萬美元的房子拍賣收回了110萬美元，A銀行和B銀行都能收回全款。但是，如果房價下跌，隻賣了85萬美元，B銀行就隻能拿回5萬美元的本金，虧了75%。所幸的是，次級貸款的利率高，如果100個貸款的人裡隻有兩三個人的貸款收不回來，B銀行也能從其他購房者償還的利息中填補漏洞。

當然，B銀行還有一個更穩妥的做法，就是從高利息（比如每年10%）中拿出一部分錢（比如1%），向保險公司C購買貸款者違約的保險。保險公司C根據曆史數據發現，房屋貸款收不回來的情況很少，比如隻占房貸的2%左右，而它從B銀行可以掙多年的錢。由于房貸的期限通常在15年以上，不考慮複利因素，15年下來就是貸款總額的15%，擔保10億美元的房産就能收入1.5億美元，成本隻有2000萬美元，這種利潤率高達650%的事情保險公司自然就答應了。

接下來，投資銀行D看到C公司做了這樣一筆好買賣，非常眼紅，就和C商量将這10億美元房産的保險生意賣給自家，并願意留下B公司20%的好處，即3000萬美元。C公司想，1.5億美元雖然多，但是要承擔15年的保險義務，不如一次性得到3000萬美元實在，就答應了。D公司是投資銀行，更精明，将這筆擔保的業務包裝成證券，叫作CDS，加價3000萬美元賣給了另一家投資銀行E。E公司可能将各種類似的CDS又打了一個包，以新的證券形式上市了。就這樣，在經過無數次包裝後，CDS的内部結構大部分人已經看不懂了，但人們總覺得自己可以從下家身上賺到錢。于是一同把CDS炒到了50萬億美元這麼大的規模，這已經超過了當時美國房市本身的總值，是當時美國GDP的3倍左右。

這個騙局的本質是什麼呢？就是大家炒來炒去都在賭一件事，今後15~30年，房價會一直快速上漲，而且購房者有足夠意願不斷供。然而，房價不可能永遠快速上漲，特别是在經濟本身漲幅很小的前提之下。于是為了維持房價快速上漲，就得有人願意花更多的錢來買房，然後需要再有人花更多更多的錢來接盤，這就是龐氏騙局的翻版。而一旦有大量房主還不上錢，或者不願意還錢，或者房價不再上漲，這些CDS就變得一錢不值。更糟糕的是，給購房者提供次級貸款的銀行、後面的保險公司以及很多購買了CDS的投資銀行也都完蛋了，整個金融系統垮了。

這件事不太容易通過一些經濟指标分析出來，因為短期房價的上漲會給人經濟繁榮的假象。但是，這種遊戲裡面的問題，卻可以通過數學算出來。其實不隻是伯裡，當時有不少人在這個騙局破滅之前發現了問題，後來掙到了大筆的錢，這其中就包括2015年向哈佛大學捐出該校有史以來最大捐款額的約翰·保爾森。這些人正是因為擁有數學思維，清楚地知道增長不可能持續，看到了繁榮後面的危機，然後做空。不過在所有掙錢的人中，伯裡的利潤率實在是太高，而且他還好心地去和每個人講，于是他被公認為最具數學頭腦、看穿騙局的第一人。

通過這個例子，我們來說說數學思維相比其他思維方式的不同。數學思維依據的不是大家的看法，不是專家的意見，也不是曆史的經驗，而是永遠不會變的事實，以及并不複雜的邏輯推理。很多人覺得搞清楚金融或其他領域的問題需要很多領域知識，這種看法當然是對的，但比領域知識更重要的是數學思維。一個人不可能成為所有領域的專家，但有了數學思維，你至少會有基本的判斷能力。即便不知道具體答案是什麼，你也很容易判斷什麼肯定是錯的。

簡單地講，具有數學思維就是會算賬，但不是指算小賬算得清楚，那經常是撿了芝麻丢了西瓜。我們說的算賬，是要善用數學知識和邏輯，對一個長期的趨勢做出正确的判斷，預見到我們必須做的事情，以及不能做的事情。

我們對“算筆賬”這3個字并不陌生。每一個人、每一個機構，都應該仔細算賬。算賬不是在自由市場上讨價還價，不是摳一兩個點的利潤，而是用好數學這個工具來發現問題，給出可行的建議。

在次貸的例子中，伯裡等人利用數學發現了不能做什麼。這其實用到了邏輯學中的矛盾律。什麼是矛盾律？它是說一個事物不能既有A屬性，又沒有A屬性。一方面房貸的總值不能超過房市的價值，這是常識；但另一方面，房貸的一部分——其衍生品CDS的盤子卻比整個房市的價值大，這就違反了矛盾律。

學習數學最有價值的地方，是接受一種邏輯訓練，形成理性思維的習慣，在生活中善于找出矛盾、發現問題，然後用邏輯的方法找到答案并采取行動。今天認知升級是一個時髦的詞，它其實不過是掌握了數學的思維方式，并對其加以靈活應用。

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