今天我是有備而來的【出示道具】，我決定向劉謙學習，變個魔術。

水平面内的勻速圓周運動最關鍵的是找到什麼？向心力的來源。它比較簡單，是速度大小始終不變的圓周運動；今天将接觸到的是豎直面内的圓周運動。比方說坐過山車，上來和下去，速度的大小是不是一直在變化呀？它是一種變速圓周運動。

豎直面内的圓周運動是變速運動，速度v的大小時刻變化（運動），合外力并沒有完全提供向心力（受力）：一部分沿着徑向提供向心力維持圓周運動的形态；另一部分沿着速度所在的切線方向改變速度的大小。所以合力指向圓心嗎？合外力不指向圓心，問題就會非常複雜。為了簡化問題，隻選擇運動過程中的兩個特殊位置——“最高點”和“最低點”進行分析。

“輕繩模型”。繩，我們都知道它是軟的（提線木偶，速度太小木偶會脫離控制），它的特點是：隻能提供沿繩方向的拉力，能不能提供支持力呢？不能。用細繩拴着一個物體，以繩子的旋轉點作為原點，以繩長為半徑在豎直面内做圓周運動。通過受力分析，發現這個變速圓周運動的大部分位置，合外力都不是指向圓心的。但是物體運動到最高點和最低點這兩個位置時，受到的合外力剛好指向圓心，為什麼？這個小球在最高點受重力作用，另外假如繩子有彈力，繩子隻能發生拉伸而不能壓縮，所以繩子如果對小球有力的作用那也是什麼力呢？指向圓心的拉力作用；在最低點它的重力還是豎直向下的不變，繩子給它的拉力還是指向圓心。所以在最高點和最低點，物體所受的合外力完全提供了向心力，這就使問題極大的簡化了。

在繩模型中，最高點和最低點有什麼樣的特征？

在最低點，物體受豎直向下的重力、繩的拉力。它所需要的向心力等于繩子的拉力減去物體的重力，得，繩子在最低點的拉力大小：.繩子的拉力是大于重力的，所以地震時天花闆上的吊燈為什麼容易掉下來？就是因為它在擺動的時候屬于圓周的一部分，哪一位置？最低點的位置。如果已知繩子的最大承受力為T2，物體要想做完整的圓周運動，最大速度就不能超過

。

設豎直向下為正方向，最高點的拉力和重力都是指向圓心的，向心力表達式為：Fn=mg T

，推出：，由此得到繩子在最高點的拉力大小：

。思考：速度v1和繩子拉力T怎樣的大小關系？這個速度越小，繩子的拉力是不是越小？那速度能不能小到一個值V0時，拉力剛好為0？這個值為，此時向心力是不是完全由重力提供？再問你一個問題：速度還可不可以繼續比這個V0小？不能比V0更小了，如果比它更小，拉力是不是負值？規定的正方向向下，負值意味着繩中的力方向向上了，成支持力了，這是不符合繩子的特點的。也就是說在繩模型中最高點速度要滿足：v≥v0，叫做“臨界速度”。考試的時候它會怎麼提醒你呢？“小球恰好通過最高點”，對這句話你做怎樣的翻譯？這個話對于考試而言是一個核心信息，意味着小球在最高點的速度就是，這一點非常關鍵。有同學喜歡打破砂鍋問到底，他問如果在最高點會怎樣？請看【紙杯輕甩演示】，就是這個意思，上不去。如果速度達到最大值的話，

這肯定是超過了。這就再一次印證了條件:v≥v0。

整個圓周運動的速度是

拓展一下，小球在内環中轉，叫做“圓軌道”模型，其實也是繩模型。它們的共同點是什麼？在最高點無支撐。 “飛車走壁”以及“過山車”都是它的應用。坐過山車通過最高點用不用系安全帶呢？理論上是不需要的。但我們也不要以身試險，為科學獻身了，找一個替代物來試試啊——“水流星”。它的速度如果小于臨界速度，結果隻有一個——“啪”就掉下來了。【紙杯中的水流星】考察一下它的水會不會流？有危險性啊！這個動作。這實際上就屬于我也會表演魔術了。沒事，轉過n多遍了這個【停下來：在線等，挺急的！】水為什麼流不出來？因為它的速度達到了，重力充當了圓周的向心力；其實繞的越快它越沒事。因為繞的越快，需要杯底給它一個壓力，重力和壓力的合力充當了向心力。

所以，到最高點到底用不用系安全帶呢？不用哈，但是物理老師建議可以買一份保險——人壽的。說到這兒想到一道高考題，拿針給水杯戳個洞，水就流出來了；但是如果讓杯子自由落體，水就不往外流，這是為什麼呢？完全失重。

“輕杆模型”。杆不同于繩的特點就是它是硬的（指揮棒，指到哪裡運動到哪裡）、能夠被壓縮，它既可以把物體拉回來也可以給物體提供支持力。常見的“悠單杠”就屬于輕杆模型。杆的一端固定在O點可以自由轉動，另一端連接小球，這個小球以O點為圓心，以杆長r為半徑在豎直面内做圓周運動。由于杆可以發生任意方向的形變，即可以提供各個方向的力，所以與杆連接的小球在特定的條件下是可以做勻速圓周運動的。仍然研究最高點和最低點，分析其受力，在最低點：物體受豎直向下的重力、杆的拉力。向心力等于杆的拉力減去物體的重力，得到，此得到杆在最低點的拉力大小：，它和繩在最低點的受力一樣不一樣？完全一樣，繩或杆的拉力就等于重力加向心力，速度越大，拉力就越大。

下面看最高點。設豎直向下為正方向。最高點合力也是完全提供向心力，Fn=mg F1，推出：，得到杆在最高點的彈力大小：.思考：這個時候對小球的運動速度有限制沒有？仿照繩模型。若，則F1=0，說明此時重力完全提供向心力，杆對小球沒有力的作用；若，F1>0，杆對小球有拉力作用；若，F1<0，杆對小球提供向上的支持力；若，F1=-mg，與重力處于二力平衡态；若，小球無法到達最高點，反方向退回了。現在你發現：杆和繩一樣嗎？不一樣。哪兒不一樣？最高點不一樣。最高點的臨界最小速度是0.

整個圓周運動的速度是

杆模型拓展：把圓管彎成圓環，它也是杆模型，叫做“圓管道”模型。它最突出的特征是什麼？在最高點對物體有支撐。給定速度大小，問：小球擠壓圓管道的内軌還是外軌？

審題要看清：第一，研究的是杆模型還是繩模型；第二，研究的是最高點還是最低點。

• 特殊

确定研究對象；确定正方向；牛頓第三定律

杆旋轉有可能勻速，此時合力必然提供向心力；杆的形變是任意的。

讓球永遠在軌道上運動，且不通過最高點：不能使其超過1/4圓的位置。

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