數列極限定義通俗易懂-tft每日頭條

數列極限定義通俗易懂

生活更新时间:2025-01-08 00:05:07

數列按其中包含的元素的個數多少可分為有限數列和無限數列兩種類型。

例如{1，1/2，1/3，1/4}就是一個有限數列，我們将這個數列擴充一下變成

{1，1/2，1/3，…，1/n，…}這就是一個無限數列。我們常說的數列極限就是研究這種無限的數列，來看看這種無限的數列随着項數的不斷增大，最終會變成什麼樣。如果一個無限的數列随着項數不斷地增大數列中的元素會趨近某一個數，那麼我們就稱這個數列是收斂的。

數列極限定義通俗易懂（解讀數列極限存在的定義及柯西收斂準則）1

數列收斂的定義

設{an}為數列，a是一個固定的數.若對任意一個正數ε，總是存在正整數N，使得當n＞N時有∣an-a∣＜ε

則稱數列{an}收斂于a，a稱為數列{an}的極限.

在這裡說明一下ε，ε并不是一個固定的數，而是一個幾乎為零的數，它隻比零大一點點，隻有這樣才能說明數列随着項數不斷地增大數列中的元素會趨近某一個數。

還要說明一下正整數N，N也不是一個固定的數，隻要我們能找到這個正整數就可以，當項數大于它時，能夠無限地接近某一個數即可。

引出柯西收斂準則

根據數列極限的定義，我們可以知道，如果一個數列存在極限，那麼必然會存在一個正整數N，當數列的項數大于N時，數列中的元素可以無限地接近某一個數，這種無限地接近可以看作是約等于。

假設數列{an}收斂于a，那麼存在一個正整數N，當m，n＞N時，

an約等于am約等于a，從而an與am之間的差可以任意小。

因此我們可以得到判斷數列收斂的充要條件柯西收斂準則。

柯西收斂準則

數列{an}收斂的充要條件是：對任意一個正數ε，存在一個正整數N，使得當n，m＞N時有

∣an-am∣＜ε

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