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高階導數計算題

生活 更新时间:2025-05-17 22:19:36

本文主要内容:高階導數的計算舉例。一階導數的導數稱為二階導數,二階以上的導數可由歸納法逐階定義,二階和二階以上的導數統稱為高階導數,本文主要介紹三階以上導數計算規律。

例題解析

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)1

例題1

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)2

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)3

例題2

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)4

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)5

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)6

例題3

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)7

例題4

n 階導數:萊布尼茲公式

設函數u(x)、v(x)在點x都具有 n 階導數,則由一階導數乘積的運算法則有:

[u(x)*v(x)]'=u'(x)v(x) u(x)v'(x);

二階導數乘積的運算法則有:[u(x)*v(x)]''=u''(x)v(x) 2u'(x)v'(x) u(x)v''(x);

可見導數階數越高,相應乘積的導數越複雜,但其間卻有着明顯的規律性,為歸納其一般規律,乘積的 n 階導數的系數及導數階數的變化規律類似于二項展開式的系數及指數規律。于是由歸納法可求得:

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)8

常用的高階導數公式

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)9

高階導數計算題(n階即高階導數計算舉例解析)10

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