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韋達定理證明三角函數

生活更新时间:2024-12-21 23:13:46

複數歐拉定理

韋達定理證明三角函數（利用歐拉定理對三角函數和差公式降維打擊）1

該公式搭建了複數與指數函數之間的橋梁，而複數又可以用三角函數表示，所以該公式也搭建起了三角函數與指數函數的橋梁。

如此，利用該公式，很多三角函數的問題可以用指數函數來解決。

該公式的證明有很多種方法，如麥克勞林展開式（Maclaurin's Series）。

韋達定理證明三角函數（利用歐拉定理對三角函數和差公式降維打擊）2

降維打擊三角函數和差公式

根據歐拉定理

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得

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式（1）

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式（2）

對比（1）式和（2）式，即得到和的三角公式：

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式（3）

式（3）

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式（4）

對上述β取反，得到差的三角公式：

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式（5）

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式（6）

積化和差公式

（6）-（4）得積化和差公式：

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式（7）

（3）（5）得積化和差公式：

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式（8）

（3）-（5）得積化和差公式：

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式（9）

（4）（6）得積化和差公式：

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式（10）

和差化積公式

利用式（8），求得

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也即

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同樣的方法，可以求得

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三角函數降幂公式與半角公式

式（7）中，令β=α，則得到

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對上式中的α取半，得到降幂公式

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進而得到半角公式

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同樣，式（10）中，令β=α，則得到

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對上式中的α取半，得

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進而得到半角公式：

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心得

不同的三角函數之間存在關聯，有時候可以相互轉化，由一個公式可以推導出另一個公式。學習者達到融會貫通的境界時，能從中獲得一種樂趣。

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