【錯位排列】

排列好的n個元素，經過一次再排列後，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這n個元素的一個錯位排列；

公式1：

公式2：

錯位題型最直接的就是記住公式：一個元素錯位重排的時候情況為0（因為隻有一個，不可能排錯），兩個元素錯位重排情況為1，三個為2，四個為9，五個為44，…………。從0,1,2,9,44可以看出後面的數為前面兩數和的倍數，那我們後面的情況也就不難推導出來。

【例1】四位廚師聚餐時各做了一道拿手菜，現在要求每個人去品嘗一道菜，但不能嘗自己做的那道菜，問共有幾種不同的嘗法？（ ）

A.6種 B.9種 C.12種 D.15種

【答案】顯然是一個錯排問題，4個人的錯排：D4=9 ,選B

【例2】五個瓶子都貼有标簽，其中恰好貼錯了三個，則貼錯的可能情況有多少種？ （ ）

A.60種 B.46 種 C.40種 D.20種

【答案】本題也是一個錯排問題，但是需要先分步計數，第一步：可以先5選3組瓶子和标簽，有10種選法，第二步：再算出3個瓶子貼錯标簽的情況D3=2，所以總的情況數為：N=10×2=20種.選D.

練習1：要把A、B、C、D四包不同的商品放到貨架上，但是，A不能放在第一層，B不能放在第二層，C不能放在第三層，D不能放在第四層，那麼，不同的放法共有（ ）種。

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】各自不能放到想放的位置，典型的錯排問題，選D

練習2：(2021·湖南師範大學附屬中學月考)若5個人各寫一張卡片(每張卡片的形狀、大小均相同)，現将這五張卡片放入一個不透明的箱子裡，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子裡各拿一張，恰有1人拿到自己寫的卡片的方法有(　　)

A．20種 B．90種 C.15種 D．45種

【答案】先分步計數，裡面涉及到一個錯排問題.第一步，先5組中有4組錯排列，有5種情況.第二步：4個的錯排列有9種情況.∴N=45.選D

【依次插空（定序問題）】

如果在n個元素的排列中有m個元素保持相對位置不變，則可以考慮将這m個元素排好位置，再将n-m個元素一個個插入到隊伍當中，此時隻有一種情況（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空位為n 1）（注意：這種類型通常是一個一個依次插空）

【例1】在一張節目單中原來有六個節目，若保持這些節目的相對順序不變，再添加進去三個節目，則所有不同的添加方法有多少種？

答案：法1：可以先将這六個節目按照開始要求的順序排好，一共有1種排法,其他的三個節目再依次插孔就可以了.∴N=1×7×8×9=504

注意：有幾組定序，就除以幾個全排

練習：元宵節燈展後，如圖挂着的有9個不同的燈籠需要取下，每次取1盞，共有多少種不同的取法（ ）

A.1680 B. 1640 C.36 D.72

答案：這種問題感覺摸不着頭腦，其實也是定序問題，因為每組的三個燈籠在取下的時候都是順序固定的.因此直接用定序公式：A99/A33.A33.A33=1680種

【相同元素分組（隔闆法)】

（注意：所有隔闆法都可以用換元法求解，轉換為至少分得一個的方法。 隔闆法的本質：x y z...=n,n∈Z 的正整數解的個數）

【例1】(1)把16個相同的球放到三個不同盒子中，要求每個盒子都有球，則不同的放球方法是多少？

答案：16個相同球，分到3個不同盒子，隻用在16個球之間切三刀即可，每一種切法對應一種分法.

一共有：C15-2=105種.

(2) 把16相同的個球放在編号為1,2,3的三個盒子中，要求1号盒子至少1球，2号盒子至少2球，3号盒子至少3球，則不同的放球方法是多少？

分析：隔闆法兩個标志性信息：1.相同元素分配 2.每個盒子至少放1個元素.但是本題每個盒子裡面放的元素不是至少1個.

因此這種類型要用提前放球法：2号盒子提前放1個，3号盒子提前放2個。這樣就能滿足每個盒子至少再放一個球即可。由于2，3号盒子已經放了球了，因此隻需要把剩下的13個球放到3個盒子就行，因此隻用切兩刀，即：C12-2=66種

(3)把16個相同的球放在三個不同盒子中，盒子可以空着不放球，則不同的放球方法是多少？

分析：隔闆法兩個标志性信息：1.相同元素分配 2.每個盒子至少放1個元素.但是本題每個盒子裡面放的元素不是至少1個.

由于這種類型部分盒子可以空着，因此不能讓他們放空，這種類型需要用到借球法：先借3個球，放到3個盒子裡面，這樣滿足每個盒子至少1個球，由于是借的球，因此總的球個數為19個，所以将19個球分到3個盒子，也隻需要切2刀，即：C18-2=153

練習：學校有10個推優名額分給1,2,3班，那麼每個班級獲得的推優名額數不小于班号的分法有幾種？

該題目自行完成：一共有126種

【不同元素分組】

将n個不同元素放入m個不同的盒中；

不同元素的分組問題分為以下幾類：

①均勻分組；②非均勻分組；③均勻分組與分配；④非均勻分組定向分配；⑤非均勻分組不定向分配；

【例1】6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法?

（1）平均分成三堆； .................均勻分組問題

（2）平均分給甲、乙、丙3人； ................均勻分組分配問題

（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本； ................非均勻分組問題

（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本； ...............非均勻分組定向分配

（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本； ............. 非均勻分組不定向分配

該類型遵循先分組，再分配的原則，先将分組情況數找到，再将分配的情況數找到，最後乘起來即可.

排列組合總總結：排列組合的主要還是以分類計數和分步計數為基本思想，然後以排列組合方式為手段的一種計數問題。在應用過程中，要将不同的題目類型進行分類，不同的類型對應不同的方法，既可以解決問題.

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