之前分享了一題使用三角形旁心性質巧妙解答求角度難題，收到了很多留言咨詢。旁心是三角形五心之中，出場率較低的，所以我們今天來具體介紹一下旁心。

想重溫這道求角度的幾何題，可以點這裡：數學趣題：不用三角函數求出∠BAC的度數

下面我們進入正題：

三角形旁切圓的圓心，簡稱為三角形旁心，它是三角形一個内角的平分線和其他兩個内角的外角平分線的交點；顯然，任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心。

如下圖所示，已知三角形ABC，角C的外角平分線CD于角B的外角平分線BD交于D，則D為三角形ABC的一個旁切圓，D是一個旁心。

三角形旁心及旁切圓性質

旁心有以下性質：

性質1 ：三角形的一條内角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。

證：如上圖，已知角C的外角平分線CD于角B的外角平分線BD交于D，我們來證明AD一定平分角A。

取旁切圓圓D與直線AC和AB的切點，分别為E和F。連接ED、FD，可知角DEA和角DFA均為直角。

ED和DF都是半徑，即ED=DF。

三角形ADE與三角形ADF有公共邊AD，可得三角形ADE與三角形ADF全等

即可得到角DAF=角DAE，因此，直線AD平分角A。證畢

性質2：旁心到三角形三邊的距離相等。

根據角平分線性質，易證此性質

性質3：三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。

根據三角形特性，兩條三角形外角平分線的交點，一定交于三角形外，易證此性質

性質4：直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。

證：如上圖，三角形ABC中角A為90度，取BC與圓D的切點為G。

易知三角形DEC與三角形DGC全等，所以EC=CG。同理可知BG=BF。

三角形ABC的周長L=AB AC CB=(AB BG) (AC CG)=(AB BF) (AC EC)=AE AF

四邊形AFDE為正方形，AE及AF都等于圓D的半徑，得證。

三角形3個旁心組成的三角形為旁心三角形，如下圖所示的三角形HDI。這個旁心三角形也有多個美妙的性質。例如：

1）H、C、D三點共線等

2）旁心三角形HDI的垂心是原三角形ABC的内心

此外，其中HB、AD、CI三條線的交點O是三角形ABC的内心，圖中紅色的圓就是内接圓，與三個旁切圓都相切。

紫色的圓是旁心三角形HDI的外接圓，也稱為“貝文圓”。

具體的性質，有興趣的讀者可以自行證明

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