解決最值問題的利器——垂線段最短

在八年級數學平行四邊形這一章學習中，最值問題是個難點，在沒有學習二次函數之前，圍繞着“最”，通常需要兩個幾何定理，其一是兩點之間，線段最短，其二是垂線段最短，還可以利用三角形三邊數量關系進行，當然它本質上也是兩點之間線段最短。

當然，這道題放在九年級複習，可解決的辦法更多，但不推薦使用超前知識來解答，後面反思中會詳細提到。那麼首先我們來看一道八年級數學動點導緻的面積最值問題。

題目

如圖，在平面直角坐标系中，正方形OABC的邊長為4，且A點在y軸正半軸上，C點在x軸上，D點是x軸正半軸上一個動點，OD長為2a，以OD為對角線作正方形OEDF，連接BD并取BD中點M，AM交x軸于N點.

(1)N點坐标是_____________(用含a的代數式表示)；

(2)求FN：EM的值；

(3)當△EMN面積最小時，求a的值.

解析：

(1)分析點N的形成，它是由AM延長後與x軸相交産生，因此觀察點M，發現它是中點，于是很容易找到一對全等三角形，△ABM和△NDM，所以可以證明DN=AB=4，于是ON=2a-4，于是得到點N坐标為(2a-4,0)；

(2)在八年級階段求線段比值，通常突破口不容易找到，但是題目條件中其實給了不少暗示，例如正方形，例如等腰三角形，咦？△EMN，是不是很像等腰三角形呢？

猜歸猜，用數學推理說話才是正道，那咱們就上路吧！

以點E為旋轉中心，EO=ED，那麼EN的對應邊又在哪裡呢？不難想到連接AE，如下圖：

由正方形OEDF得到EO=ED，∠OED=90°，由正方形OABC得到OA=AB，再用前一小題中的△ABM≌△DNM得到AB=DN，于是等量轉換順利得到OA=DN，再加上∠AOE=∠NDE=45°，用SAS判斷△AOE≌△NDE，從而證明了AE=NE，∠AEO=∠NED，而∠NED ∠OEN=90°，于是∠AEO=∠OEN=90°，即∠AEN=90°，得到等腰Rt△AEN，前面也提到點M是中點，因此△EMN是等腰三角形，所以FN：EM=√2；

(3)這是本題重點也是難點，△EMN的面積随着點D帶動點N變化而變化，但我們可以看到，△EMN本身是個特殊三角形，它的面積與其邊長有關聯，即面積最值可轉化成線段最值問題，于是我們學過的兩個定理：兩點之間，線段最短和垂線段最短便能派上用場了。

到底該用哪個呢？

觀察線段的變化，如果兩個端點都在變化，其實是不利于觀察的，在△EMN中，恰恰所有頂點都在變化，設置了障礙，但回到最初求N點坐标時的思路，觀察線段AN，由于M是中點，所以MN的長度與AN的長度變化是同步的，對于線段AN來講，端點A是确定的，點N又在x軸上，即線段一端固定，另一端在直線上，這不就是點到直線的距離最短的案例嗎？

所以當AN⊥x軸時，AN最短，連帶MN最短，得到△EMN面積最小。

結合前面的探究，AB=DN，而DN和DO重合，于是2a=4，求得a=2.

解題反思：

解完之後會感覺，這道題并不難嘛！的确，在想到思路之前，的确很難，想到之後，行雲流水。

那麼解題的思路究竟如何更有效率地尋找？答案隻有一個，那就是審題，說起來簡單，但做起來很難。學生平時學習，積累了大量解題經驗，這些經驗要用于某道具體題目，相當于大數據匹配，讀題時，觸發思維線，思維線織成網，最終網住結論這條魚。

在實際教學中，我發現有學生提前學習了後面知識，例如用一次函數求解析式，再構造二次函數求最值，當然也很容易，坐标系内的問題，用解析法再容易不過。

隻是解析法解此類題，容易上瘾，再也不會去思考幾何直觀，甚至再遇到這類幾何問題，建系解決問題成為首選，這可不是八年級學習幾何的目的！曾經在九年級複習課中，講一道壓軸題，有多種方法，幾何法非常巧妙，也簡單，但不少學生卻執迷于解析法，雖然最終通過複雜的計算也能得到，但費時費力，更糟糕的是，他們在用解析法完成之後，對幾何法的講解不屑一顧，課堂上甚至開起了小差，因此不禁在想，超前學習到底是幫他們還是害他們？

我認為，每個階段有每個階段的教學目标，學生不宜超前學習，這次教育部出台規範培訓機構的文件，也提到這一點，所以平時的學習，必須按部就班，遵照學生思維成長規律，不可拔苗助長。

雪浪紙

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