中考解答壓軸（動點與相似或三角函數）

（2019•營口）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，點M是AB的中點，連接MC，點P是線段BC延長線上一點，且PC＜BC，連接MP交AC于點H．将射線MP繞點M逆時針旋轉60°交線段CA的延長線于點D．

圖1

（1）找出與∠AMP相等的角，并說明理由．

（2）如圖2，CP＝0.5BC，求AD/BC的值．

（3）在（2）的條件下，若MD＝(√13)/3，求線段AB的長．

圖2

第一問

【圖文解析】如下圖示，∠AMP＝∠DMP－∠DMA＝60°－∠DMA＝∠MAC－∠DMA＝∠D（因∠MAC＝∠DMA ∠D），即∠AMP＝∠D．

第二問

（試題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，點M是AB的中點，連接MC，點P是線段BC延長線上一點，且PC＜BC，連接MP交AC于點H．将射線MP繞點M逆時針旋轉60°交線段CA的延長線于點D．

圖1

（2）如圖2，CP＝0.5BC，求AD/BC的值．

【圖文解析】過點C作CG∥AB交MP于點G，如下圖示，根據平行線的性質，結合（1）的結論可得∠CGM＝∠D；易證∠PMD＝CMA，得∠CMG＝∠AMD；由已知，易證CM＝AM＝0.5AB．綜上，根據AAS，可證△CMG≌△AMD，得CG＝AD．

由CG∥AB，得△PCG∽△PBM，得CG/BM＝PC/PB＝0.5BC/（0.5BC BC）=1/3．如下圖示，設CG＝AD＝m，則BM＝3m，AB＝6m，在Rt△ABC中，∠B＝30°，得AC＝3m，由勾股定理，得BC＝3√3m，所以AD/BC＝m/(3√3m)=√3/9（注意含特殊角的直角三角形的常用結論）．

第三問

（2019•營口）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，點M是AB的中點，連接MC，點P是線段BC延長線上一點，且PC＜BC，連接MP交AC于點H．将射線MP繞點M逆時針旋轉60°交線段CA的延長線于點D．

（3）在（2）的條件下，若MD＝(√13)/3，求線段AB的長．

圖2

【圖文解析】

法一：過點M作MN⊥AC于點N，結合（2），可得到如下圖标注的結論．

根據勾股定理，得

解得m1=1/3，m2=-1/3(舍去)．

所以AB＝6m=2．

法二：如下圖解（與法一本質相同）

法三：如下圖示，

根據兩角相等，得△MHA∽△DMH．

得MH/DH＝AH/MH．

得MH2＝AH•DH，

解得m1=1/3，m2=-1/3(舍去)．

所以AB＝6m=2．

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