亞曆山大港的希羅 (Hero of Alexandria) 是一位多才多藝的工程師, 汽轉球, (已知最早的蒸汽機, 盡管後人普遍認為這種玩具對生産沒什麼作用), 自動售貨機, 風力風琴等有趣的機械都是他的發明.
而要提到希羅在數學上的成就, 家喻戶曉的海倫公式 (Heron's formula)就以他命名, 而這一期文章要提到的是另一個希羅的發明——巴比倫算法.
使用巴比倫算法估算S的平方根時, 先取一個估算值x₀ (x₀ > 0)
取新的估算值
再重複這種計算, 就能得到更準确的估算值.
比如說, 我們要計算8191532的平方根.
8191532 ≈ 8.19⋅ 10⁶, 所以我們估算其平方根大約在3⋅ 10³左右.
我們取3000和8191532/3000的算數平均值, 得到約為2865.255333
再取2865.255333和8191532/2865.255333的算數平均值, 得到2862.087007
再重複一次, 我們得到8191532的平方根約為2862.085254, 已經非常接近正确數據了.
實際上, 巴比倫算法是牛頓法的一種特例. 我們要計算√S實際上是要計算x²-S=0的正根.
我們用牛頓法的公式
把f(x)=x²-S代入, 得到:
也就是我們計算時使用的那個式子.
按照同樣的原理, 很容易得出立方根的叠代公式
讀者們也可以由此推算出n次方根的叠代公式.
就在幾十年前, 人們還需要依靠計算尺、對數表才能計算. 而在對數出現前的古代, 有條理地計算也被當作是數學能力的一部分. 婆羅摩笈多也認為, 能夠在一年内解出某個Pell方程的人就算是數學家了. 但現在, 學生們可以輕松使用計算器速算. 盡管如此, 我們學生也應該去了解計算器背後的原理, 這也是學習數學的一部分.
(秋天的金槍魚- Day13 來自“秋天的金槍魚”的“吃白巧克力的黑貓”)
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