高中數學函數極值知識點?利用導數研究函數的極值，下面我們就來說一說關于高中數學函數極值知識點?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

高中數學函數極值知識點

利用導數研究函數的極值

1、極值的定義：

（1）極大值：一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；

（2）極小值：一般地，設函數f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．

2、極值的性質：

（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值隻是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味着它在函數的整個的定義域内最大或最小；

（2）函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域内極大值或極小值可以不止一個；

（3）極大值與極小值之間無确定的大小關系，即一個函數的極大值未必大于極小值；

（4）函數的極值點一定出現在區間的内部，區間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的内部，也可能在區間的端點．

3、判别f（x0）是極大、極小值的方法：

若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側f（x）的導數異号，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．

4、求函數f（x）的極值的步驟：

（1）确定函數的定義區間，求導數f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）用函數的導數為0的點，順次将函數的定義區間分成若幹小開區間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右負，那麼f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符号即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．

在理解極值概念時要注意以下幾點：

（1）按定義，極值點x0是區間[a，b]内部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．

（2）極值是一個局部性概念，隻要在一個小領域内成立即可．要注意極值必須在區間内的連續點取得．一個函數在定義域内可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有極值，那麼f（x）在（a，b）内絕不是單調函數，即在區間上單調的函數沒有極值．

（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續，則它的極值點的分布是有規律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]内的極大值點、極小值點是交替出現的，

（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．

利用導數研究函數的最值

1、函數的最大值和最小值

觀察圖中一個定義在閉區間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．

一般地，在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．

說明：（1）在開區間（a，b）内連續的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）＝在（0， ∞）内連續，但沒有最大值與最小值；

（2）函數的最值是比較整個定義域内的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．

（3）函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，是f（x）在閉區間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．

（4）函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個

2、用導數求函數的最值步驟：

由上面函數f（x）的圖象可以看出，隻要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．

設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）内可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求f（x）在（a，b）内的極值；

（2）将f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值．

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