金虎奔騰辭舊歲，玉兔歡躍迎新春，轉眼間春節假期就已經離我們遠去了在這個“美好時刻”裡，筆者忍不住想起了“守株待兔”的故事——

宋人有耕者。田中有株，兔走觸株，折頸而死。因釋其耒而守株，冀複得兔。兔不可複得，而身為宋國笑。

——《韓非子·五蠹》

”作為一個打工人，此刻不免有個疑問，有沒有可能科學、合理、可持續地守株待兔，而不會像寓言裡的那位宋國人一樣遭人嘲笑呢？

圖片來源：giphy

為了方便研究，我們抽象化問題的表述。假設宋國人某段時間守株待兔成功的幾率為p，顯然這一段時間在樹下一無所獲的概率為 q = 1 - p，其中 0 ≤ p ≤ 1。對于這種隻有兩種結果的單次随機試驗，我們又稱為“伯努利試驗”，由數學家雅各布·伯努利提出。（為搶C位，這個史上第一數學天團都經曆了哪些内部紛争？ ）

根據上面伯努利試驗的設定，我們可以得出對應的概率分布，即伯努利分布，又稱兩點分布或者0-1分布。

概率分布

所謂概率分布，指的是随機變量的概率性質。兩個随機變量具有同樣的分布時，我們無法用概率來區别它們。不嚴謹地講，概率分布就是在統計圖中用橫軸表示數據的值，用縱軸坐标表示橫軸對應數據的概率。而橫軸縱軸之間的對應關系，就是所謂的“概率函數”。

對于離散随機變量，其對應概率質量函數（probability mass function, pmf, 如上圖；對于連續随機變量，其對應概率密度函數（probability density function, pdf，如下圖）。

很顯然，伯努利分布是一個離散型概率分布，根據定義我們可以得到其pmf

如果取p = 0.3，我們可以得到函數圖象

同時我們也可以求得伯努利分布的數學期望

數學期望

在統計學中，數學期望即随機試驗在同樣情況下重複無窮多次，所有可能狀态趨近的結果。對于離散随機變量而言，其數學期望是試驗中每次可能結果乘以其結果對應概率的和，即

譬如，擲一枚六面骰子，點數的數學期望E(X) = 1/6 × 1 1/6 × 2 1/6 × 3 1/6 × 4 1/6 × 5 1/6 × 6 = 21/6 = 3.5。

結論其實非常顯而易見，即如果兔子撞樹的概率是p，寓言中宋國人某次“試驗”中撿到兔子的數學期望就是p。

按照寓言的設定，宋人“因釋其耒而守株，冀複得兔。”為了簡化問題，我們假設兔子撞樹屬于獨立事件，也就是說其他兔子并沒有因為之前的事件意識到超速的危害，也沒有将事故現場标記為事故多發路段。

圖片來源：giphy

很顯然，多次守株待兔問題的本質其實就是n次獨立的伯努利試驗中成功的次數的離散概率分布。同樣地，繼續假設宋國人某次守株待兔成功的幾率為p，宋人一共“守株”n次，其中k次成功，那麼結合前面伯努利分布的結論，我們可以得到新的pmf

其中

讀作“n取k”，即二項式系數（二項式定理各項的系數），所以n個獨立的是/非試驗中成功次數k的離散概率分布又被稱為二項分布。

二項式系數的直觀展示——帕斯卡三角/楊輝三角 三角形第n層（第1行定義為第0層，以此類推，第n 1行即第n層）正好對應于二項式(a b)n展開的系數。例如第2層1、2、1為(a b)2展開形式a2 2ab b2的系數。 圖片來源：Wikipedia

這裡有必要稍微複習一下二項式系數“n取k”。除了上面的記法，“n取k”還可以寫作下面這些形式

所以這其實隻是一個中學的知識點，“n取k”即從n個不同元素中取出k個元素的方法數，覺得生疏的同學可以複習中學排列組合相關課程。那麼回到上面介紹的二項分布的pmf

綠色部分代表前一節所述的伯努利試驗的pmf，紅色部分可以理解為我們希望在n次試驗中有k次成功，但這k次成功可以發生在總共n次試驗中的任意位置。

二項分布的概率質量函數（pmf）。圖中橫坐标為k，縱坐标是對應的概率。顯然p和n不同，pmf的形狀也會改變。

由于二項分布本質上就是n次伯努利試驗的結果，所以二項分布的數學期望等于n倍的伯努利分布的數學期望，即np，記作λ。

經過了之前的鋪墊，下面讓我們來讨論真實的場景，即我們如果親自去守株待兔會有怎樣的結果。故事的結局裡，宋國人終日守在樹旁（即試驗次數n很大），但“兔不可複得，而身為宋國笑”。我們以此作為樣本可知，兔子撞到樹上的概率是非常低的（概率p非常小）。

朱迪警官為大家親自示範兔子的靈敏程度 圖片來源：YouTube

我們考慮極限情況，令n趨近于無窮（n是試驗次數，“趨于無窮”描述了守株待兔過程中“終日守在樹旁”的狀态）。那麼，上一節中的二項分布可以寫作

此處我們代入上一節中二項分布的期望值λ = np，即p = λ/n。為了後面計算的方便，這裡我們引入自然常數e的定義

代入上面式子，之後的計算就顯而易見啦——

綜上所述，我們得到了真實情況下的概率質量函數pmf，也就是著名的泊松分布。上面計算說明，當試驗的次數趨于無窮大，而λ = np不變時，二項分布收斂于泊松分布。

西梅翁·德尼·泊松（1781-1840），法國數學家、幾何學家和物理學家。泊松是著名數學家拉格朗日和拉普拉斯的學生，其研究覆蓋了當時數學幾乎各個方向。中學課本上泊松光斑的故事說的就是他的故事。為了推翻光的波動理論，泊松計算發現在波動說的前提下，用一個圓片作為遮擋物時，光屏的中心應出現一個亮斑。結果菲涅耳和阿拉戈精心設計了一個實驗，确認了這一亮斑的存在，反而成為了支持波動說的強有力證據。 圖片來源：Wikipedia

當然，隻是看數學公式可能有些抽象，所以讓我們直接上圖。

圖像為泊松分布的pmf。參數λ可以用樣本的均值來近似。簡單地說，将宋人守株待兔的時間劃分成無數份，其中λ次等到了兔子撞樹。橫軸代表k，也就是我們如果去守株待兔，事件（等到兔子）發生次數。縱坐标則代表在上述λ的前提下，實際等到0，1，2 ，......，50隻兔子的概率。顯然，泊松分布以λ為中心，且λ越大，越接近正态分布。

《理 想 情 況》圖片來源：Giphy

泊松分布适合于描述單位時間内随機事件發生的次數的概率分布。比如汽車站台的候客人數、放射性原子核的衰變數等之類的事件。值得一提的是，在“守株待兔”的故事中，“兔不可複得”，可見樣本的估計值是很低的，我們假設λ小于0，可以得到如下圖像

可見即使令λ = 0.1，能等到兩隻兔子的概率都趨近于0。所以指望守株待兔發家緻富是不太可能的。當然要得到嚴謹的結論，我們還可以計算一下泊松分布的數學期望，不過需要用到一點點大一的數學知識（泰勒展開）。

所以泊松分布的數學期望實際上就等于λ。如果實際中宋國人每蹲守1000次才能等到一隻兔子（筆者懷疑這是不是也太過于樂觀了），那麼守株待兔數學期望E(守株待兔) = 0.001。

綜上所述,建議屏幕前的朋友們開工之後一定要認真地工作學習，畢竟天上掉餡餅的概率極小，而且很可能也不太好接——

圖片來源：Giphy

作者：鑄雪

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!