文章有點長，感興趣的朋友請耐心看完！

【考點1 一元二次方程的概念】

【方法點撥】解決此類問題掌握一元二次方程的定義是關鍵；等号兩邊都是整式，隻含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。

【思路點撥】根據一元二次方程的定義：隻含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．

【答案】解：①ax2 x 2＝0，當a＝0時，該方程屬于一元一次方程，故錯誤；

②3（x﹣9）2﹣（x 1）2＝1、④（a2 a 1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定義，故正确；

③x 3＝1/x屬于分式方程，故錯誤；

⑤√x 1＝x﹣1屬于無理方程，故錯誤；

故選：B．

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等号兩邊都是整式；方程中如果有分母，那麼分母中無未知數； ②隻含有一個未知數； ③未知數的最高次數是2．

【考點2 一元二次方程的解】

【方法點撥】一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是将方程的根或解反代回去再進行求解.

【思路點撥】把x＝0代入方程（m﹣3）x² 3x m²﹣9＝0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對二次項系數為0．

【答案】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x² 3x m²﹣9＝0中，得

m²﹣9＝0，

解得m＝﹣3或3，

當m＝3時，原方程二次項系數m﹣3＝0，舍去，

故選：B．

【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義．能使方程成立的未知數的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念．

【考點3 用指定方法解一元二次方程】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法的步驟.

【思路點撥】（1）方程變形後，利用平方根的定義開方即可求出解；

（2）方程常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方即可求出解；

（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當根的判别式大于等于0時，代入求根公式即可求出解；

（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然後利用兩數相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解．

【點睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各自解法是解本題的關鍵．

【考點4 一元二次方程根的判别式】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握根的判别式：當①b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③b²-4ac＜0時，方程無實數根，反之亦成立.

【思路點撥】（1）根據一元二次方程根的判别式列出不等式，結合一元二次方程的定義可得a的範圍；（2）将a的值代入得出方程，解之可得．

【答案】解：（1）由題意知△≥0，即4（a﹣1）²﹣4（a﹣2）（a 1）≥0，

解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；

（2）由題意知a＝3，

則方程為x2﹣4x 4＝0，解得：x1＝x2＝2．

【點睛】本題考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax² bx c＝0（a≠0）的根與△＝b²﹣4ac的關系是解答此題的關鍵．

【考點5 一元二次方程根與系數的關系】

【方法點撥】解決此類問題需熟練掌根與系數的關系，熟記兩根之和與兩根之積，并且能夠靈活運用所學知識對代數式進行變形得到兩根之和與兩根之積的形式，代入即可求值.

【思路點撥】（1）将所求的代數式進行變形處理：x₁² x₂²＝（x₁ x₂）²﹣2x₁x₂．

（2）根據異分母分式的加法法則進行變形處理，代入求值即可．

【點睛】此題主要考查了根與系數的關系，将根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．

【考點6 有關一元二次方程傳播問題】

【方法點撥】解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟：

第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。

第2步：設未知數。根據題意及各個量的關系設未知數。

第3步：列方程。根據題中各個量的關系列出方程。

第4步：解方程。根據方程的類型采用相應的解法。

第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。

第6步：答。

【例6】今年春季某地區流感爆發，開始時有4人患了流感，經過兩輪傳染後，共有196人患了流感．若每輪每人傳染的人數相同，求每輪每人傳染的人數．

【思路點撥】設每輪傳染的人數是x人，根據有4人患了流感，經過兩輪傳染後共有196人患了流感，列方程求解即可．

【答案】解：設每輪傳染的人數是x人，根據題意得：

4x 4 （4x 4）x＝196，

解得：x＝6或x＝﹣8（不合題意，舍去）．

答：每輪傳染的人數是6個人．

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意，準确找到等量關系列出方程是解決問題的關鍵．此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．

【考點7 有關一元二次方程面積問題】

【思路點撥】（1）用（總長 2個2米的門的寬度）﹣3x即為所求；

（2）由（1）表示飼養場面積計算即可，

【答案】解：（1）由題意得：（48﹣3x）米．

故答案是：（48﹣3x）；

（2）由題意得：x（48﹣3x）＝180

解得x₁＝6，x₂＝10

【點睛】考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合适的等量關系，列出方程，再求解．

【考點8 有關一元二次方程增長率問題】

【例8】 “美化城市，改善人民居住環境”是城市建設的一項重要内容．北京市将重點圍繞城市副中心、大興國際機場、冬奧會、世園會、永定河、溫榆河、南中軸等重要節點區域綠化，到2022年，全市将真正形成一片集“萬畝城市森林、百萬喬灌樹木、百種鄉土植物、二十四節氣林窗、四季景觀大道”于一體的城市森林．2018年當年計劃新增造林23萬畝，2019年計劃新增造林面積大體相當于27.8個奧森公園的面積，預計2020年計劃新增造林面積達到38.87萬畝，求2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率．

【思路點撥】增長率問題，一般用增長後的量＝增長前的量×（1 增長率）列出方程．

【答案】解：設2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率為x，

根據題意得23（1 x）²＝38.87，

解得x₁＝0.3＝30%，x₂＝﹣2.3（不合題意，舍去）．

答：2018年至2020年計劃新增造林面積的年平均增長率為30%．

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，增長率問題，若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長後為a（1 x）；第二次增長後為a（1 x）²，即原數×（1 增長百分率）²＝後來數．

【考點9 有關一元二次方程利潤問題】

【例9】某公司銷售一種産品，進價為20元/件，售價為80元/件，公司為了促銷，規定凡一次性購買10萬件以上的産品，每多買1萬件，每件産品的售價就減少2元，但售價最低不能低于50元/件，設一次性購買x萬件(x>10)

（1）若x=15，則售價應是 元/件；

（2）一次性購買多少件産品時，該公司的銷售總利潤為728萬元；

【考點10 有關一元二次方程動點問題】

【例10】如圖，在Rt△ABC中∠C=90º，AC=30cm，BC=21cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，如果點P，Q的運動速度均為1cm/s．那麼運動幾秒時，它們相距15cm？△PCQ的面積能等于60平方厘米嗎？為什麼？

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