圓的面積公式：
圓的周長公式：
如果對圓面積公式的自變量r求導，則會發現
與周長公式完全相同，這是為什麼呢？
對于一個半徑為1的圓的面積，等同于底為2π（6.28），高為1的三角形面積。
我們可以這樣理解r的變化對于圓面積的變化：
每當r增加一個很小的增量Δr（Δr 0）,圓的面積就增大一圈：
對應的三角形面積也增加一層：
圓增加的圓和三角形增加的層，都可以看成增加了一個2π（t Δt）的圓或線，于是無窮個這樣的圓（總半徑和度為1）疊加成為該圓的面積。
所以我們可以用定積分來求圓的面積（半徑為1的圓）：
F(r)為f(r)的原函數
當數學引入微積分後，我們就需要理解“無窮個疊加成有限個”這個思想。
如：一個長度為1的線段是由無數個點所構成的；一個體積為1的正方體是由無數個面積為1的長方形構成的。
這個也可以這樣想：無數個低維物體構成一個有限的高維物體。
點是一維的，線段是二維的；
長方形是二維的，長方體是三維的。
對于這個理解，以前的數學家們也是花了很長的時間，比如著名的“追烏龜（阿基裡斯悖論）”：
阿基裡斯（又名阿喀琉斯）是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿基裡斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點産生了；阿基裡斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿基裡斯隻能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距不管這個距離有多小，但隻要烏龜不停地奮力向前爬，阿基裡斯就永遠也追不上烏龜！
“烏龜” 動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由于追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。”
這個悖論就是将追上的總距離無數細分：10 1 1/10 1/100 1/1000…...
《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”
這個也是将一個有限長度的棰無限細分：1/2 1/4 1/8 1/16……
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