乍見希爾伯特空間，隻聞其聲不明其理，當你學得正歡之時，突如其來不知所雲。不禁自問，希爾伯特空間到底是什麼？

We must know, we will know.——希爾伯特

空間對于人，是人與事物存在、運動的場所，空間對于數學，是“點”（元素）和幾何結構的集合。

衆所周知的三維空間，屬于歐幾裡得空間——有限維度線性内積空間。

什麼是歐幾裡得空間？

古希臘數學家歐幾裡得創建了距離和角之間聯系的法則——歐幾裡得幾何，由二維平面幾何可擴展成三維，再到有限維度抽象幾何空間，稱為歐幾裡得空間。其中維度是描述空間内一個點所需參量的個數——坐标數，例如三維空間中的點a=(x1,x2,x3)。

若把人的活動約束在學校，那麼就是學校空間，同理，對點和幾何結構進行各種約束，就構成了不同的數學空間。

1、度量空間：定義了距離的空間。

對空間（集合）中任意兩點a,b，若D(a,b)滿足：

• 非負性、同一性：D(a,b) ≥ 0 ，當且僅當a = b時，D(a,b) = 0；
• 對稱性：D(a,b) = D(b,a)；
• 不等式：D(a,b) ≤ D(a,c) D(c,b)。

則D(a,b)就可以稱為空間的一個距離。

2、線性空間：定義了距離後，增加線性約束的空間。向量的加法、乘法滿足交換律、結合律等，簡而言之就是符合線性疊加原理，F(a b c)=F(a) F(b) F(c)。

3、賦範空間：定義了範數，是絕對值（形式|a-b|）的延伸，是對向量、函數和矩陣定義的一種距離度量形式，如距離D(a,b)=||a−b||。

4、内積空間：規定了内積，引入夾角概念的空間。比如向量a·b=|a||b|cosθ=(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1 x2y2 x3y3。

至此，在各種約束條件下，有限維度 度量 線性 範數 内積=歐幾裡得空間。看似複雜的定義，其實就是一種約束的空間。

關于人，沒有約束就沒有自由；關于數學，沒有約束的空間，龐大而無用武之地。

神秘的希爾伯特空間

當歐幾裡德空間不再局限于有限維，就是希爾伯特空間——無限維度完備線性内積空間。完備指的是，空間中的極限運算衍生的所有可能點都包含于空間本身——柯西序列等價于收斂序列，簡言之，合理即存在。

無限維度的向量（x1,x2,x3...xn）意味着有任意個獨立坐标，可以用函數表達，兩個無限維度的向量的内積等價于兩個函數的積分。例如傅裡葉變換，一種頻率函數對應一個坐标，時域中每個點都可以在頻域中展開成各種頻率的函數。如此一來，歐幾裡得空間就演變成希爾伯特空間。

傅裡葉變換

在理論數學和物理中，希爾伯特空間是強有力的概念工具，例如泛函分析中，研究的對象正是函數構成的空間；量子力學中，一個物理系統必須由平面波和束縛态所構成的希爾伯特空間來表示。當然希爾伯特空間也不是萬能的，比如廣義相對論就必須用到非歐幾何空間。

綜上所述，希爾伯特空間褪去神秘，就是一種受約束的數學空間。試想構建一種數學框架套在宇宙空間中，使得宇宙空間與數學空間一一對應，是不是可以得到一切真理？或許曆史總是會重演，正像希爾伯特希望建立完備自洽的數學公理系統，随着哥德爾不完備性定理的到來而破滅，又如廣義相對論時空遇到量子不确定性原理，對立又不容。萬物之理，何去何從，還看今朝。

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