▷教學内容

教科書P60~61例1、例2及“做一做”。

▷教學目标

1.理解兩個數的公因數和最大公因數的意義。掌握求兩個數的公因數和最大公因數的方法，能熟練地求兩個數的最大公因數。

2.結合具體例題，培養學生觀察、分析、抽象、歸納等能力。

3.激發學生的學習積極性，發展積極的學科情感。

▷教學重點

理解求兩個數的公因數和最大公因數的方法。

▷教學難點

本節課的教學重點也是教學難點。

▷教學準備

課件。

▷教學過程

一、聯系舊知識，揭示課題

師：同學們，我們在前面學習了因數的有關知識，還記得有哪些知識嗎？怎樣找一個數的因數呢?

【學情預設】學生可能會說出：①一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1,最大的因數是它本身；②找一個數的因數可以用列乘法算式的方法，也可以用列除法算式的方法；③一個數的因數成對成對地找比較好。

結合學生的彙報，課件出示。

師：今天我們一起繼續研究因數的有關知識。（闆書課題：最大公因數）

【設計意圖】利用已有的知識學習新的知識，既消除了學生學習的心理障礙，又為今天的新授内容作鋪墊。

二、合理引導，探尋策略

1.用集合法求公因數和最大公因數。

師：8的因數有哪些？12呢？用我們前面學過的方法，把一個數的因數用一個集合圈圈起來。

師生交流，歸納并闆書：

師：觀察一下8和12的因數，你有什麼新的發現？

【學情預設】8和12都有因數1,2,4。

師：像1,2,4這樣是8和12兩個數都有的因數，我們把這些數叫做8和12的公因數。

師：同學們真聰明，之前我們用這樣的方法表示一個數的因數，那麼要同時表示兩個數的因數，兩個圈的位置應該怎樣擺？

【學情預設】學生可能說将兩個集合圈移動交叉，重合的部分就是兩個數的公因數，沒有重合的部分是這兩個數獨有的因數。

結合學生發言，教師闆書：

師：我有問題了，怎樣做到既不重複，又不遺漏，既表示8的因數，又表示12的因數？請同學們填在集合圈裡，指名學生在黑闆上闆演。

【學情預設】學生可能出現如下情況：①将1,2,4填在重合部分，8填在左邊空白部分，3,6,12填在右邊空白部分；②将1,2,4填在重合部分，1,2,4,8填在左邊空白部分，1,2,3,4,6,12填在右邊空白部分。

師（指着第二種情況）：大家同意這種填法嗎？為什麼？他做到了不遺漏，但重複了，會調整嗎？怎樣調整？為什麼不拿中間的1,2,4呢？

師生交流，歸納并闆書：

師：對比黑闆上的兩幅圖，變化在哪？中間部分的數表示什麼呢？4呢？

【學情預設】學生可能出現如下情況：①中間部分的數1,2,4表示8和12的公因數；②4是8和12的最大公因數，可以用畫圈的方法把4圈起來，表示最大公因數。

師生交流并闆書：1，2，4是8和12公有的因數，叫做它們的公因數。其中，4是最大的公因數，叫做它們的最大公因數。

師：你們知道什麼是公因數，什麼是最大公因數嗎？

【學情預設】幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數。

三、探究求兩個數的最大公因數的方法

師：大家能用剛才學到的方法求公因數和最大公因數嗎？如18和27。

1.探究一般方法。

（1）課件出示教科書P60例2。

（2）學生自主解答。

（3）展示交流，根據學生的交流，教師闆書，課件同步呈現。

【學情預設】預設1：列舉法。

預設2：篩選法。18的因數有1，2,3，6,9，18，27的因數有1，3，9，27，所以18和27的公因數有1,3,9,最大公因數是9。

預設3：分解質因數法。

師：前面我們學習了質數，把一個合數寫成幾個質數相乘的形式，就是分解質因數，如18=2×3×3，這裡的2，3都是質數，我們就說2，3是18的質因數。

師：你們把27分解質因數看看。

學生獨立分解質因數。

師介紹：把兩個合數分解質因數後，把所有相同的質因數相乘，得到的積就是這兩個數的最大公因數。

師：如18和27全部公有的質因數是2個3，所以18和27的最大公因數就是3×3＝9。

讓學生看看教科書P56“你知道嗎？”。

【設計意圖】通過學生自由發言，教師可以了解學生對求兩個數的公因數和最大公因數知識的掌握情況，并以此作為調整課堂教學思路的主要依據。

2.介紹用短除法求最大公因數。

（1）認識互質數。

師：從教科書P56中的“你知道嗎？”你知道了什麼？

【學情預設】裡面提到了一種短除法。

師：對，短除法在求公因數和最大公因數時很有用。我們來研究一下短除法。

師：求下面各組數的最大公因數。

2和119和10

師：做完後，你發現了什麼？

【學情預設】它們的最大公因數都是1。

師：公因數隻有1的兩個數叫做互質數。互質的兩個數必須是質數嗎？請舉例說明。

學生閱讀教科書P64“你知道嗎？”。

【學情預設】學生可能會說：①1和任何非0自然數互質；②兩個不同的質數互質；③2和任意非0奇數互質；④相鄰的兩個自然數互質……教師要實時舉例引導：互質的兩個數不一定都是質數，如9和10都是合數，但是它們除了公因數1以外，沒有其他公因數，所以它們就是互質數。

師：同學們真聰明，還有其他方法求兩個數的最大公因數嗎？

【設計意圖】學生學習互質數的知識，為學習用短除法求最大公因數作鋪墊。

（2）教師介紹短除法。

師：求兩個數的最大公因數，可以依次用這兩個數的公因數去除，直到最後得到的兩個商互質為止，然後把公有的質因數相乘就是它們的最大公因數。如：（邊介紹邊闆書）

學生自學教科書P61“你知道嗎？”。

師：用短除法求兩個數的最大公因數時需要注意些什麼？

【學情預設】學生可能會說：用兩個數的公因數去除，直到最後的商互質為止，然後把公有的質因數依次乘起來。

師：真好，請大家用剛才學到的短除法求12和16的最大公因數。

3.回憶總結，提煉方法。

師：我們一起回憶一下今天的學習過程，怎樣求兩個數的公因數和最大公因數？兩個數的公因數和最大公因數之間有什麼關系？

【學情預設】學生可能會說：求最大公因數可以用集合法、列舉法、篩選法、分解質因數法、短除法；有了公因數就能找到最大公因數，知道最大公因數就能找到所有公因數；公因數是最大公因數的所有因數；最大公因數是公因數的倍數；最大公因數隻有1個，公因數不一定隻有1個……

【設計意圖】通過讨論讓學生明白公因數與最大公因數之間的關系，學生在參與實踐的過程中，不僅獲得了知識，更體驗到成功的快樂。

四、實踐應用，鞏固拓展

1.學生獨立完成教科書P61“做一做”第1、2題。

（1）學生獨立完成，教師個别輔導。

（2）集中評價。

【學情預設】第1題中引導學生列舉完整，說說每個圈中填的是什麼。第2題要分别說說9，6，12，18号學生站在哪個位置。

【設計意圖】幫助學生進一步理解因數和公因數的聯系與區别，鞏固因數和公因數的概念。

2.學生獨立完成教科書P61“做一做”第3題。

（1）課件出示。

（2）小組比賽，看哪個小組完成得最快。

師：下面我們來進行一個寫最大公因數的比賽，通過完成此題，你有什麼發現？

【學情預設】學生可能會說出：①互質的兩個數的最大公因數是1；②兩個數成倍數關系時，它們的最大公因數是較小的那個數；③用短除法求最大公因數比較簡便。

【設計意圖】本環節練習層次清楚，由易到難，充分調動學生學習的積極性，讓學生在具體的情境中合理選擇解決問題的策略。

闆書：當兩個數成倍數關系時，較小的數就是它們的最大公因數。

五、課堂小結

師：其實，關于求公因數和最大公因數的方法多種多樣，通過本節課的學習，你有什麼樣的收獲？

【學情預設】學生可能總結出公因數、最大公因數、互質數的概念，可能總結出求最大公因數的方法……

師：數學是思維的體操，數學的美需要我們不斷地去發現，去研究，去創造。

【設計意圖】學生對自己的學習過程、經驗、方法的回顧與反思，是學習過程的重要組成部分，是提高學生數學素養的途徑之一。

▷教學反思

在以往的教科書中，分解質因數、短除法一直是必學的内容，考慮到求最大公因數、最小公倍數主要用于約分和通分，允許學生用多種方法求最大公因數和最小公倍數，那麼分解質因數、短除法就不再是唯一的方法，為了減少理論概念，教科書就把這兩個内容作為拓展内容，安排在“你知道嗎？”中介紹。事實上，從學生的長期發展來看，這兩種方法還是要掌握的，所以本節課的設計中，還是将這兩個内容補充進來。

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