補碼（Two's complement），是有符号數的一種二進制表示方式。

我們用 B2Tw 來表示一個補碼。其中 w 代表二進制數的位長，B2T 的含義其實是 “二進制轉補碼”。

計算補碼實際表示的數，我們需要将每一位上的值和對應權重相乘然後進行相加。每一位（索引記為 i，從 0 開始，從右往左遞增）的權重為 2i，但最高位的權重比較特殊，需要取負數，為 -2w-1。

對向量 x = [x^(w-1), x^(w-2), ... , x^0]，有：

下面舉幾個簡單的例子：

補碼其實就是将最高位後面的位當成是一個無符号二進制數，将其轉為十進制。然後如果最高位是 1，就再減去 2^(w-1)，得到一個負數；

如果最高位是 0，不用處理，最後得到一個非負數。補碼這種表示方式使用了 減去偏移值（2^(w-1)） 的方式，解決了原碼和反碼表示的 0 有兩種表示方式的弊端，成為現在機器有符号數的标準意義上的存儲方式。

對于一個位長為 w 的補碼表示，最大值 TMaxw 為 2^(w-1) - 1，此時最高位為 0，其餘位都是 1。最小值 TMinw 為 -2^(w-1)，此時最高位為 1，其餘位都是 0。

如對于 4 位的補碼，最大值 TMax4 = B2T4([0111])，對應的值為 2^3 - 1 = 7，最小值為 B2T4([1000])，對應的值為 -2^3 = -8。

補碼的英文 Two's complement，原意是 “2的補數”。

這個命名雖然沒有描述補碼的定義，但它描述了補碼的一個特性：一個補碼可以通過被 2w 減去，得到它的相反數，即 -x = 2w - x。

如對于字長為 4 的補碼表示 0001（十進制為 1），它的相反數為 10000（即 24） - 0001 = 1111（十進制為 -1）。

我們在學習原碼、反碼、補碼，查閱相關文章時，總是可以看到類似下面的這句話。

正數和0的補碼就是該數字本身，負數的補碼則是将其對應正數按位取反再加 1。

後半句話難以理解，因為這是我前文提到的特性的一種變體。下面我們來分析這個變體是如何推導出來的。

根據補碼特性，字長為 w 的補碼和補碼的相反數相加，得到的是 2^w，如 0001 1111 = 10000（即 24）。

補碼和補碼按位取反的數相加得到的是 2^w-1，如 0001 1110 = 1111（即 10000 - 1）。

用後一個等式減去前者，我們就得到了：

1111（負數的補碼） = 1110（正數按位取反） 1

于是我們有了 “負數的補碼則是将其對應正數按位取反再加 1” 這個結論。

請務必不要通過這句話來理解補碼，它不直觀，不是定義，隻是一個特性。

而是應該直擊本質：除最高位的其他位對應的數，根據最高位的值決定是否減去偏移值（2^w，w 為位長）得到的值就是補碼。

原碼與反碼

既然講了補碼，那不妨再簡單講講和補碼密切相關的原碼和反碼。原碼和反碼和補碼一樣，都是有符号數的表示方式。

原碼（Sign Magnitude），由最高位的符号位（Sign）和其餘位表示的大小（Magnitude）組成。

原碼與我們日常使用的有符号數相似，最高位表示符号（0為正，1為負），剩下的位則是數字的絕對值大小。原碼的計算公式為：

反碼（Ones' Complement），和補碼的計算方式非常相似，隻是這個偏移值是 2^(w-1)-1，而不是 2^(w-1)。

正數的反碼等于其原碼，而負數的反碼則可以通過保留其符号位，将原碼的數值位取反得到。

反碼公式為：

反碼（Ones' Complement），根據英文原意，應該叫做 1們的補。“1們” 表示是多個 1，對于一個 w 位的反碼來說，其實就是 2^(w-1)-1（全為 1 的 w 位的二進制數）。

同樣，類似補碼，反碼具有特性：一個補碼可以通過被 2^w-1 減去，得到它的相反數，即 -x = 2^w-1 - x。

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