有理數是“一維伸縮”的測度值
諸如直尺、溫度計、水位計、高度計等一維測量儀，其測量值隻能是有理數，規定某一點是零點坐标，就有了±整數與±分數。
無理數是“二維旋轉”的平均值
在平面直角坐标系S(0,0)上，将坐标為(1,0)的單位1逆時針旋轉45°得到點A(1,1)，就得到線段SA=√2。
同理，三角函數的大量無理數，也是通過旋轉有理數坐标軸來獲得。例如：sin60°=½√3。三角函數型的無理數，屬于低級無理數。
√2是無理數，為什麼要用線段表示？
再如，自然常數e=lim(1 1/n)^n，來自若幹有理數(1 1/n)(1 1/(n 1))的依次乘積。自然常數是一個超級無理數。
√2是無理數，為什麼要用線段表示？
兩個有理數的乘積ab的幾何均值√ab或勾股均值√(a² b²)，相當于一個有理數坐标軸旋轉，就存在無理數。
再看，圓周率=圓周長÷直徑，即π=C/d，圓周率是一個低級無理數。因為：
直徑涉及一維直線的測度，就隻能是有理數。
圓周涉及二維旋轉的測度，就是低級無理數。
如果涉及多維旋轉的測度，就是高級無理數。
虛數是“旋轉實數”的代名詞
虛數，不是虛幻想象，而是旋轉實數的投影。這裡把有理數軸泛化為實數軸。
√(-1)是旋轉線段在縱軸的投影單位值，即1個i，記作：√(-1)=i。
把有理數坐标(0,1)旋轉60°，得實數sin60°=√(3/2)，在縱軸投影出虛數√(3/2)i。
複數是伸縮數與旋轉數的複合
平面直角坐标系的複數：z(a,b)=a ib，a代表一維伸縮的實數(a,b)，i代逆時針旋轉90°在縱軸的投影單位值。
平面極坐标系的複數：z(r,θ)=re^iθ=r(cosθ isinθ)=r·cosθ r×isinθ。
其中，r·cosθ是點乘，意味着投影在橫軸上的伸縮度或“散度”，r×isinθ是叉乘，意味着投影在縱軸上的旋轉度或“旋度”。
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