"角平分線上的點到這個角兩邊距離相等"是角平分線一個簡單而又重要的性質定理．運用用個性質定理可以解決許多具有一定難度的幾何題．

例 如圖1，已知△ABC中，AB>AC，∠BAC的外角平分線交外接圓于點D，過點D作DF⊥AB于F．

求證：AB-AC=2AF．

分析：此題曾經是全國初中數學聯賽試題，初看似有一定的難度，但如果善于聯想，問題解決并不難．

首先注意到D是角平分線上的點，DF⊥AB，聯想到定理：角平分線上的點到這個角兩邊距離相等．為了利用這個定理，作DE⊥直線CA，交CA延長線于點E，則DE=DF(如圖2)．

再考慮到點A、B、C、D四點都在圓上，所以連接BD，可得圓内接四邊形ACBD，從而可利用"圓内接四邊形外角等于它的内對角"，得∠DAE=∠DBC．

因為∠DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，連接DC，可得BD=DC．

注意到△BDF與△CDE中，BD=CD，DF=DE，

根據"斜邊直角邊"定理，得△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

而BF=AB-AF，CE=AC AE，

所以AB-AF=AC AE，

所以AB-AC=AF AE．

顯然，AE=AF，

所以AB-AC=2AF．

證明：連接DB、DC，作DE⊥直線CA，垂足為E．

因為∠DAE=∠DAF，DF⊥AB，

所以DE=DF，

因為AD=AD，

所以△ADE≌△ADF，

所以AE=AF．

因為四邊形ACBD内接于圓，

所以∠DAE=∠DBC，

因為∠DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，

所以弧BD=弧CD，

所以BD=DC．

在Rt△BDF與Rt△CDE中，

BD=CD，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

因為BF=AB-AF，CE=AC AE，

所以AB-AF=AC AE，

所以AB-AC=AF AE=AF AF=2AF，

所以AB-AC=2AF．

從證明過程可以發現，本題獲得解決的關鍵在于為了利用角平分線性質定理作出的輔助性DE，從而構造了全等三角形．這種思路方法在其他相關問題中都值得進行嘗試．

練習：

1.如圖3，△ABC中，AB>AC，∠ABC的外角平分線交外接圓于點D，DE⊥BC，交CB延長線于點E．BE=1，求AB-BC．

（提示：過點D作DF⊥AB于F）

2.如圖4，圓内接△ABC中，AB=AC，D是弧BC上一點，DC>DB，AE⊥DC于E．

求證：DC-DB=2CE．

（提示：過點A作AF⊥BD交BD延長線于F）

3. 如圖5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B、∠C的平分線BD、CE相交于點I，求證：ID＝IE．

（提示：連接IA，過點I分别作IP⊥AC于P，IQ⊥AB于Q）

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