向量，顧名思義，就是既有方向又有大小的量，在物理裡面又稱為矢量。物理裡面，像位移、速度、加速度、力等物理量，都是矢量。

從向量的定義，我們不難看出，向量具有幾何方面的特性——方向，又具有代數方面的特性——大小。這就意味着，向量先天然的就是一個代數與幾何完美結合的典範，具有很強的解析性。這也意味着，向量問題的處理，經常體現數形結合的思想，很多時候是比較靈活的，需要我們多加琢磨。

其實在以前的高中數學教材裡，是沒有向量這一模塊的知識的。對于向量，我們數學老師的感受是非常深刻的，因為向量的引入，極大程度上降低了某些傳統知識的講解和學習，像三角恒等式、餘弦定理、柯西不等式等等。毫不誇張的說，向量就是一把利器，既利于老師教學，也利于學生學習。

然而，遺憾的是，部分老師自己不太接受這個新的工具（其實也不新了，向量引入高中教材，已經有16年之久了），還是用傳統的方法來講解上述定理（餘弦定理等）。誠然，傳統的方法也體現了很豐富的數學思想，但較之向量還是要遜色一些。再者，我們常常鼓勵孩子們要接受新知識，新方法，我們老師又何嘗不是如此呢。

今天，我們就來講講，采用向量這個工具，如何在上述定理的學習中發揮巧妙的作用，一起來感受向量在數形結合裡展現的奇妙。

一、兩角餘弦差公式

先來看看兩角餘弦差公式的表述形式：

我們知道，在所有三角恒等式裡，兩角餘弦差公式是最重要的公式，沒有之一！為什麼？因為可以通過這個公式，推導出剩下的所有的三角恒等式，這回你知道我沒有虛張聲勢了吧。正是如此，這個公式的證明就顯得尤為重要。

我們來看看采取向量的方法，如何證明這個公式。

我們先給一個單位圓，以及圓上的任意兩點，A，B。

由圖可知：

∠AOB實際上就是向量OA與向量OB的夾角，那麼，由向量的内積定義：

因為AB兩點在單位圓上，所以這兩個向量的模都是1，所以：

如此，我們就用向量證明了兩角的餘弦差公式，是不是非常簡潔啊。大家感興趣的話，可以搜索一下傳統的證明方式，是比較繁瑣的。

二、餘弦定理

餘弦定理是解三角形裡一個非常重要的定理，用向量的方式也是極其的簡潔。

在三角形ABC中，餘弦定理表述如下：

我們給一個三角形，當然，這是任意給的三角形，再給三個向量，即向量AB，向量AC，向量BC。

AB = c，AC = b，BC = a

在三角形ABC中，根據向量的減法，我們可以得到：

在向量的計算中，我們知道，一個向量的平方就等于這個向量模的平方，所以上式進行模的替換，就得到了餘弦定理：

這裡補充一句，解三角形裡，還有一個定理，叫做正弦定理。正弦定理的證明，也是一個非常美妙的過程，是我最喜歡的高中數學定理證明之一，讓人看了心情愉悅。感興趣的朋友可以自己查閱資料看一下。

三、柯西不等式

我們先來看看柯西不等式的二維形式：

不用向量的方式，二維形式的柯西不等式還是比較容易證明的，左邊展開進行配方就可以了，同學們可自行嘗試證明一下。在用向量證明之前，我們先說明一個向量内積運算的基本性質。

其實這個性質就是在說，兩個向量模的乘積，要大于等于他們的内積。這個性質是很顯然的，因為内積運算的實質，本就是一個向量的模在另一個向量上的投影，再與該向量的模相乘。自然，這個乘積的結果，比直接拿兩個模相乘要小，因為投影的長度，肯定要小于等于自身的長度嘛。

其實講到這裡，我們發現，柯西不等式已經不用證明了。什麼？不是還沒有開始嗎，就已經結束了！大家看柯西不等式的形式：

左邊不就相當于兩個向量的模乘起來平方嗎？右邊呢？是不是就是内積運算之後平方啊。所以在向量的性質之下，柯西不等式簡直就不用證明了，因為這本就是一個東西啊！

向量的特别之處在于，還可以很方便的進行維度拓展，比如柯西不等式的N維形式：

隻需要把二維向量，拓展到N維向量，是不是就得到這個結論了。如果采取代數的方式，還是要費點功夫才可以的。由此，我們也看出了向量這個工具的強大！

當然，向量在高中數學中還有很多妙用，比如在解析幾何直線那個模塊，求點到直線的距離公式。如果不用向量的方法，采取傳統的解析幾何方法，不管是等面積法，還是利用段長度公式，都是不小的運算量。但是，采取向量的方法，可以非常簡潔的得到點到距離公式。我發的視頻裡有這個具體證明的方法，感興趣的同學可以去看一看，這裡就不再論述了。

通過這幾個例子，我們切身體會到了向量這個工具的強大，堪稱數與形相結合的典範啊！在很多高考題裡，也展現了極其巧妙的用處，改天我們再詳細舉幾個高考真題來說明一下，屆時再來感受向量裡的數形結合思維！

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