1. ⑴等差、等比數列：

⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：

⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：

注①：i.=√ac，是a、b、c成等比的雙非條件，即b=√(ac)→a、b、c等比數列.

ii. b=√(ac)（ac＞0）→為a、b、c等比數列的充分不必要.

iii. b=±√(ac)→為a、b、c等比數列的必要不充分.

iv. b=±√(ac)且ac>0→為a、b、c等比數列的充要.

注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac＞0，則等比中項一定有兩個.

③an=cqⁿ(c、q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{

}（x>1）成等比數列.

⑷數列{an}的前n項和sn與通項an的關系：

[注]： ①

可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.

②等差{an}前n項和

→

可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若d為零，則是等差數列的充分條件；若

d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）

2. ①等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍

②若等差數列的項數為

，則

③若等差數列的項數為

.

3. 常用公式：①1 2 3 … n =n(n 1)/2

②1² 2² 3² ...... n²=n(n 1)(2n 1)/6

③1³ 2³ 3³.... n³=[n(n 1)/2]²

[注]：熟悉常用通項：9，99，999，…=>an=10ⁿ-1； 5，55，555，…=>an=5/9(10ⁿ-1).

4. 等比數列的前n項和公式的常見應用題：

⑴生産部門中有增長率的總産量問題. 例如，第一年産量為α，年增長率為γ，則每年的産量成等比數列，公比為1 γ. 其中第n年産量為a(1 γ)的N-1次方，，且過n年後總産量為：

⑵銀行部門中按複利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存α元，利息為γ，每月利息按複利計算，則每月的α元過n個月後便成為α（1 γ）ⁿ元. 因此，第二年年初可存款：

⑶分期付款應用題：α為分期付款方式貸款為a元；m為m個月将款全部付清；γ為年利率.

5. 數列常見的幾種形式：

⑴

（p、q為二階常數）→用特征根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程x²=Px q（x²對應

，x對應

），并設二根

②若

可設

，若

可設

；③由初始值

确定

.

⑵

（P、r為常數）

用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為

的形式，再用特征根方法求

<br> (二維碼自動識别)

；④

（公式法），

由

确定.

①轉化等差，等比：

②選代法：

.

③用特征方程求解：

④由選代法推導結果：

.

6. 幾種常見的數列的思想方法：

⑴等差數列的前n項和為Sn，在d<0時，有最大值. 如何确定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：

一是求使

，成立的n值；二是由

利用二次函數的性質求n的值.

⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：

⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差d1、d2的最小公倍數.

2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證

為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證

都成立。

3. 在等差數列｛

｝中,有關Sn 的最值問題：(1)當a1>0,d<0時，滿足

的項數m使得

取最大值. (2)當a1<0,d>0時，滿足

的項數m使得

取最小值。在解答絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

數列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。

2.裂項相消法:适用于

其中{

}是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。

3.錯位相減法:适用于

其中{

}是等差數列，

是各項不為0的等比數列。

4.倒序相加法: 類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

5.常用結論

1）: 1 2 3 ... n = n(n 1)/2

2） 1 3 5 ... (2n-1) =n²

3）1³ 2 ³3³ ..... n³=[1/2n(n 1)]²

4） 1² 2² 3² .... n²=(1/6)n(n 1)(2n 1)

5） 1/n(n 1)=(1/n)-1/(n 1) 1/n(n 2)=1/2(1/n-1/(n 2)

6） 1/pq=1/(q-p)(1/p-1/q)(p>q)

「鍊接」

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