對稱是客觀存在的，是數學概念，是哲學觀念，是思維方法。英國數學家斯圖爾特在他的《自然之數》一書中寫道：

"大自然似乎被對稱所吸引，因為自然界中許多最顯著的模式是對稱的，人類心智中的某種東西受對稱的吸引，對稱對我們的視覺有感染力，從而影響我們對美的感受。"

今天，人們已經普遍接受這樣一個信條：自然界所有的基本力都是由一些對稱原理産生的。這就是說：對稱性支配相互作用。

著名物理學家楊振甯在《對稱與物理學》中說："在理解物理世界的過程中，

21世紀會目睹對稱概念的新方面嗎？'我的回答是："十分可能。"

抛物線是軸對稱圖形，展現出整體的和諧與平衡之美。解與抛物線相關的問題時，積極捕捉、創造對稱關系，常能化複雜為簡單。由抛物線捕捉對稱信息的方式有以下幾種：

（1）從抛物線上兩點的縱坐标相等獲得對稱信息：若抛物線上有兩點（x₁，yo），

（x₂，yo），則抛物線的對稱軸方程為x=(x₁ x₂)/2;

（2）從抛物線的對稱軸與抛物線被x軸所截得的弦長獲得對稱信息。

榮獲諾貝爾獎的楊振甯是當代著名的物理學家，他對20世紀數學的發展亦有非凡的貢獻。楊一米爾斯理論和楊一巴克斯特方程，先後進入當代數學發展的主流。楊振甯是當代物理學家中特别偏愛數學而且大量應用數學的少數物理學家之一。

鄭闆橋的竹畫中是否也蘊含了平移對稱呢？平移對稱、旋轉對稱、破缺對稱，有時對稱會以一種非常微妙的方式出現。

艾米•諾特（1882-1935），德國數學家，她的研究領域為理論物理和抽象代數學，被愛因斯坦稱為"數學史上最重要的女性"。對稱的最典型應用是自然界中的晶體。對稱現象背後的數學就是群論。

1918年，20世紀最偉大的女數學家艾米•諾特創立了舉世聞名的"諾特定理"：

大千世界種種運動之所以産生守恒性，是因為事物内部存在着對稱性，現代物理學相當多地建基于對稱性的種種性質。完美的宇宙，對稱是其中的關鍵一環。

完美的理論，常由對稱表現出來。

例1．（2019秋•曆下區期末）二次函數y＝ax² bx c（a≠0）的部分對應值如下表：

利用二次函數的圖象可知，當函數值y＞0時，x的取值範圍是______．

【解析】由表格給出的信息可看出，對稱軸為直線x＝1，a＜0，開口向下，與x軸交于（﹣1，0）、（3，0）兩點，則y＞0時，x的取值範圍即可求出．

根據表格中給出的二次函數圖象的信息，對稱軸為直線x＝（0 2）/2＝1，

∴頂點坐标為（1，4），所以a＞0，開口向上，

∴根據抛物線的對稱性知：與x軸交于（﹣1，0）、（3，0）兩點，

則當函數值y＞0時，x的取值範圍是﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．

變式1．（2020•倉山區校級模拟）表中所列x、y的7對值是二次函數y＝

其中判斷正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【解析】：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其對應的函數值是先增大後減小，

∴抛物線開口向下，∴a＜0，①符合題意；

∴6＜m＜11＜k，∴6＜m＜11，②符合題意；

綜上，可得判斷正确的是：①②④．故選：B．

【解析】通過割補，把陰影部分面積轉化為常規圖形面積，既要用到平移的性質，又要用到抛物線的對稱性。

例3. 當x＝m和x＝n（m≠n）時，二次函數y＝x²﹣2x 3的函數值相等，當x＝m n時，函數y＝x²﹣2x 3的值為______．

【解析】：∵當x＝m和x＝n（m≠n）時，二次函數y＝x²﹣2x 3＝（x﹣1）2 2的函數值相等，∴以m、n為橫坐标的點關于直線x＝1對稱，則(m n)/2＝1，∴m n＝2，

∵x＝m n，∴x＝2，函數y＝4﹣4 3＝3．故答案為3．

變式.當x＝m和n（m＜n）時，代數式x²﹣4x 3的值相等，并且當x分别取m﹣1、n 2、(m n)/2時，代數式x²﹣4x 3的值分别為y₁，y₂，y₃．那麼y₁，y₂，y₃的大小關系為（　　）

A．y₁＜y₂＜y₃ B．y₁＞y₂＞y₃

C．y₁＞y₃＞y₂ D．y₂＞y₁＞y₃

【解析】：∵當x＝m和n（m＜n）時，代數式x²﹣4x 3的值相等，

即當x＝m和n（m＜n）時，函數y＝x²﹣4x 3的函數值相等，

而抛物線的對稱軸為直線x＝2，∴n﹣2＝2﹣m，∴m n＝2，

∵抛物線開口向上，x＝(m n)/2＝2，∴y₃最小，

∵點（m﹣1，y₁）比點（n 2，y₂）到直線x＝2的距離小，

∴y₁＜y₂，∴y₁，y₂，y₃的大小關系為y₃＜y₁＜y₂．故選：D．

例5．已知，如圖，二次函數y＝ax² 2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側），點H、B關于直線l：y＝√3/3x √3對稱．

（1）A坐标為_____,　B坐标為_____；H坐标為_______；

（2）求二次函數解析式；

（3）在x軸上找一點P，使得|PA﹣PH|最大，求P點坐标；

（4）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分别為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN NM MK和的最小值．

（4）設直線AH的解析式為y＝kx b，把A和H點的坐标代入求出k＝√3，b＝3√3，

∵過點B作直線BK∥AH，∴直線BK的解析式為y＝mx n中的m＝√3，

又因為B在直線BK上，代入求出n＝﹣√3，

∴交點K的坐标是（3，2√3），則BK＝4，

∵點H、B關于直線AK對稱，K（3，2√3），

∴HN MN的最小值是MB，KD＝KE＝2√3，

過K作KD⊥x軸于D，作點K關于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，KD＝KE＝2√3，

則QM＝MK，QE＝EK＝2√3，AE⊥QK，

∴根據兩點之間線段最短得出BM MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN NM MK的最小值，

∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，

由勾股定理得QB＝8，∴HN NM MK的最小值為8．

例6．如圖，對稱軸為直線x＝2的抛物線經過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F（a 1，0），點P是第一象限内的抛物線上的動點．

（1）求此抛物線的解析式；

（2）當a＝1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐标；

（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最小？請說明理由．

【解答】方法一：解：（1）∵對稱軸為直線x＝2，

∴設抛物線解析式為y＝a（x﹣2）² k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：9a k=0, 4a k=5，解得a=-1, k=9，

∴y＝﹣（x﹣2）² 9＝﹣x² 4x 5．

（2）當a＝1時，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．

設P（x，﹣x² 4x 5），

如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN＝x，ON＝﹣x² 4x 5，

∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2 4x 4．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐标為3．

令y＝﹣x² 4x 5＝3，解得x＝2±√6．

∵點P在第一象限，∴P（2 √6，3）．

四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此隻要ME PF最小，則PMEF的周長将取得最小值．

如答圖3，将點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M₁（1，1）；

作點M₁關于x軸的對稱點M₂，則M₂（1，﹣1）；

連接PM₂，與x軸交于F點，此時ME PF＝PM₂最小．

方法二：（1）略．

（2）連接MF，過點P作x軸垂線，交MF于點H，

顯然當S△PMF有最大值時，四邊形MEFP面積最大．

當a＝1時，E（1，0），F（2，0），

∵M（0，1），

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，

∴點P的縱坐标為3，∴﹣x² 4x 5＝0，解得：x＝2±√6，

∵點P在第一象限，∴P（2 √6，3），PM、EF長度固定，

當ME PF最小時，PMEF的周長取得最小值，

二次函數的圖像是一個抛物線，因此是一個軸對稱圖形。若兩個點是關于對稱軸對稱的，則縱坐标相等，橫坐标關于對稱軸對稱（對稱軸是兩個橫坐标的中點）。若題目中告訴我們縱坐标相等，則隐含的條件是橫坐标關于對稱軸對稱。通常這是需要求解二次函數時需要挖掘的隐含條件，往往是突破二次函數問題的題眼。

利用二次函數的對稱性求最值問題是函數教學的一個難點問題，不僅要求學生掌握函數的基本要素，還要把幾何圖形和二次函數知識結合，綜合運用圖形的數形結合的能力。解題要明确知道始點在哪裡，終點在哪裡，這兩個點所在的圖形有什麼特征？從而确定這條對稱軸。解決這些問題關鍵是要掌握二次函數的對稱性，明确圖象上的任何一點關于對稱軸對稱的點也一定在此抛物線上。再利用求"最值"的幾何模型（1）：求"變動的兩線段之和的最小值"時，大都應用"兩點之間的所有連線中，線段最短"這一模型。所以，二次函數是一件"外衣"，是一個工具。希望學生能通過這樣的一個教學對這一類題型觸類旁通，解一題知一片。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!