愛因斯坦的相對論是當今世界最著名的理論，它與量子力學組成了物理學的兩大支柱。相對論打破了牛頓的絕對時空概念，将時間也視為一個重要的維度。在狹義相對論中有時間膨脹效應，在廣義相對論中也有引力時間延緩。不過，很多人深陷在其複雜的數學演算中，無法感受到其中的美妙。在本文中，我們将用最簡單的方式來推導這兩個公式。
狹義相對論狹義相對論有兩個重要的假設：相對性原理和光速不變原理，我們将從這些原理出發，設計一個思想實驗，來推導時間膨脹公式。
想象有一列以速度v勻速向右行駛的火車，在其車廂地闆的某個位置裝有激光發射器和接收器，而正對着的火車天花闆上裝有一面反射鏡。發射器會向上發射激光，然後被天花闆上的鏡子反射回接收器。
在火車上的人們，看到激光是直上直下的，他們算得整個過程所花費的時間是Δτ=2d/c。但是，在火車之下的地面觀察者，由于火車的運動，他們看到的光線呈鋸齒狀，斜向上發射而後斜向下反射。假設地面觀察者測得的時間間隔為Δt，根據光速不變原理和勾股定理，我們可以得到如下公式：
通過求解上式，我們就可以得到時間膨脹公式：
廣義相對論也有兩個重要的基礎：廣義相對性原理和等效原理，其中等效原理在我們下面的推導中非常重要。簡單來說，等效原理表明，均勻引力場中的靜止參考系與具有适當加速度的加速運動參考系等價。最著名的例子就是電梯思想實驗，以加速度g上升的電梯，裡面的人是分不清自己靜止在地球表面還是在太空中加速。
利用這個原理，我們又可以設計一個思想實驗，其中涉及到深受歡迎的旋轉木馬。旋轉木馬以角速度ω轉動，我們在其中心和在距離中心r處的木馬各放一個時鐘。相比于中心處的時鐘，木馬處的時鐘以v=ωr運動，我們可以利用狹義相對論中的時間膨脹公式來計算二者的關系。
因為木馬處的時鐘還受到了一個慣性離心力mω²r，根據等效原理，我們可以把它看成是一個與之等效的引力場。我們把中心點的引力勢能設為零，則木馬處的勢能為：
而我們知道真正的引力勢能表達式：
因此我們可以得到v²=2GM/r，把它代入到狹義相對論時間膨脹公式得到：
這就是引力時間膨脹公式。
應用這兩個公式的最常被提起的應用就是衛星導航了。每個導航衛星的速度大約為1.4萬公裡/時，根據狹義相對論的計算，衛星上的原子鐘比地球上的要慢7微秒。而衛星處于大約二萬公裡的高度，所受的重力較小，根據廣義相對論會快45微秒。雖然這些時間相差很小，但是乘上巨大的光速數值，如果沒有進行相對論修正，導航将相差十萬八千裡。
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