正四面體是棱長都相等的三棱錐,在高考中常常圍繞它求外接球半徑或内切球半徑,或者三棱錐體積等等,高考考得比較頻繁,所以我們要對它充分掌握,在這裡我們來推導它的外接内切球半徑。
我們畫一個正四面體和外接球,設棱長為a,則每一面上的高為二分之根号3a。
然後在高AD上取點E,使AE=2DE,E為等邊三角形ABC的中心,底面外接圓的圓心,連接PE,則pe垂直底面。
在三角形PAE中,使用勾股定理,求出PE。
然後在PE上取一點O,則PO=AO=r,oE=三分之根号6a-r,利用勾股定理。
所以棱長a的為正四面體外接球半徑為四分之根号6a。
我們下次推導正四面體内切球的半徑,将利用等體積法解決。
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