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換元法的最值問題

生活 更新时间:2024-09-18 09:23:30

昨天我們留下一道題,讓大家解決,不知大家有沒有做出來,今天我們來講解怎麼通過換元減元法解決這個問題。

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例:

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)1

解析:進行移項,把含未知數的放在一邊,變量放在另一邊,

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)2

因為是恒成立,所以m小于等于右邊的最小值。右邊含有sin,cos兩個未知數,都在變化,很難求出最值。

觀察在三角函數中,1常常可以換元替換

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)3

所以:

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)4

此時發現剛好可以構造完全平方得:

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)5

此時表面看有兩個未知數,但是把sin cos看成一個整體進行換元,,就隻剩一個未知數了。

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)6

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)7

運用輔助角公式合并:

換元法的最值問題(利用減元法解決多變量的最值問題)8

右邊為二次函數,開口向上,對稱軸為-1/2,研究範圍在對稱軸右邊,所以在研究範圍内單調遞增,所以當t=1時,函數值最小,所以m小于等于2。

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總結:此題中的sincos,sin cos若不加以處理,難以将變量統一成一個未知數。觀測點 到sincos可以有sin cos的平方得到,1可以等于sin的平方 cos的平方,因此我們想到換元減元。

前天一篇 利用減元法解決多變量的最值問題—代入減元;昨天一篇

利用減元法解決多變量的最值問題—等量減元;加上今天這篇,都是在講減元的,減元,是解決最值問題的一把利器。

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