知識要點：

相交線與平行線知識框圖

一、相交線

1．鄰補角、對頂角的相關概念

（1）鄰補角：

如果兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，那麼這兩個角互為鄰補角.

（2）對頂角：

如果一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，那麼這兩個角互為對頂角.

如圖，直線 AB 和 CD 相交于 O 點，形成四個角，分别是 ∠1，∠2，∠3，∠4 .

其中鄰補角有 4 對，分别是 ∠1 和 ∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4，∠4 和 ∠1 ；

對頂角有 2 對，分别是 ∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4 .

2.鄰補角和對頂角的性質

鄰補角 互補；對頂角 相等.

3.鄰補角、對頂角的應用

【例題1】如圖，直線 a，b 相交，∠1=45°，求 ∠2，∠3，∠4 的度數．

解：

∵ ∠1 ∠2 = 180°，

∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 45° = 135° .

∵ ∠3 = ∠1，∠4 = ∠2，

∴ ∠3 = 45°，∠4 = 135° .

二、垂線

1.垂線的相關概念

（1）垂直：

兩條直線相交，有一個夾角是 直角，這兩條直線互相 垂直；

（2）垂線：

兩條直線互相 垂直，其中一條直線叫作另一條直線的 垂線 .

2.垂直的性質與判定

如圖，

（1） 垂直的性質：

∵ AB⊥CD ( 已知 )，

∴ ∠AOC = 90° ( 垂直的定義 ).

（2）垂直的判定：

∵ ∠AOC=90° ( 已知 )，

∴ AB⊥CD ( 垂直的定義 ) .

3.垂線的性質

在同一平面内，過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直 .

4.垂線的應用

【例題2】如圖，直線 AB 與 CD 相交于點 O，OE⊥AB 于點 O，∠1 = 40°，

求 ∠2 和 ∠COA 的度數 .

解：

∵ OE⊥AB，

∴ ∠BOE = 90°，

∵ ∠2 ∠BOE ∠1 = 180°，

∴ ∠2 = 180° - ∠BOE - ∠1 = 50° .

又 ∵ ∠2 ∠COA = 180°，

∴ ∠COA = 180° - ∠2 = 130° .

三、點到直線的距離

1.垂線段的定義：

如圖，直線 PC⊥AB，把線段 PC 叫做點 P 到直線 AB 的 垂線段 .

2.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短 .

如圖，下列選項中最短的線段是 （ B ）

A.PA B.PB C.PC D.PD

3.直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到這條直線的距離 .

如圖，線段 PB 的長度，叫做點 P 到直線 m 的距離 .

四、同位角、内錯角、同旁内角

1.三線八角

如圖，直線 AB，CD 被直線 EF 所截，構成八個角，簡稱“三線八角”.

（1）同側同向 —— 同位角：

例如 ∠1 和 ∠5，圖中還有 ∠4 和 ∠8，∠2 和 ∠6，∠7 和 ∠3；

（2）兩側異向 —— 内錯角：

例如 ∠3 和 ∠5，圖中還有 ∠4 和 ∠6；

（3）同側異向 —— 同旁内角：

例如 ∠3 和 ∠6，圖中還有 ∠4 和 ∠5 .

2.同位角、内錯角、同旁内角

【例題3】如圖，

① ∠1 與 ∠4 是同位角；② ∠2 與 ∠1 是内錯角 ; ③ ∠3 與 ∠1 是同旁内角 .

3.同位角、内錯角、同旁内角的應用

【例題4】如圖，

① ∠1 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的 同旁内 角 ;

② ∠4 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的 同位 角 ;

③ ∠2 和 ∠8 是直線 AF 與直線 AG 被直線 DE 所截形成的 内錯 角 .

五、平行線

1．平行線的定義

（1）觀察思考：

在轉動直線 a 的過程中，有沒有直線 a 與直線 b 不相交的位置呢？

（2）定義及表示方法：

在同一平面内，不相交的兩條直線 是平行線 .

直線 a 與 b 平行，記作 a∥b .

（3）總結：

同一平面内兩條直線的位置關系有兩種：① 平行，② 相交 .

2.平行公理及推論

（1）經過直線外一點，有且隻有一條直線與已知直線平行.

（2）推論：

如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行 .

如圖，

∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c .

3.平行線的判定

（1）判定方法 1：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

如上圖所示，用直尺和三角尺作出直線 AB，CD，

得到 AB∥CD 的理由是 同位角相等，兩直線平行．

結合圖形，用符号語言表述平行線 判定方法：

∵ ∠1=∠2 ( 已知 )，

∴ AB∥CD ( 同位角相等，兩直線平行 ) .

（2）判定方法 2：

兩條直線被第三條直線所截，如果内錯角相等，那麼兩直線平行.

簡單說成：内錯角相等，兩直線平行.

如圖，

∵ ∠1=∠2，

∴ a∥b（内錯角相等，兩直線平行）.

（3）判定方法 3：

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁内角互補，那麼這兩條直線平行 .

簡單說成：同旁内角互補，兩直線平行 .

如圖，

∵ ∠1 ∠4 = 180°，

∴ a∥c（同旁内角互補，兩直線平行）.

（4）判定方法 4：

在同一平面内，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那麼這兩條直線平行 .

∵ b⊥a , c⊥a ,

∴ b∥c .

4.平行線的性質

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）兩直線平行，内錯角相等；

（3）兩直線平行，同旁内角互補 .

【例題5】如圖所示，已知 AB∥CD .

（1）∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，求 ∠E 的度數；

（2）請猜想 ∠B ∠E ∠D 的度數，并說明理由 .

參考答案：

（1）∠E = 78°；

（2）∠B ∠E ∠D = 360° .

（提示：過點 E 作 EF∥AB . ）

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