向量運算與三角恒等變換-tft每日頭條

向量運算與三角恒等變換

生活更新时间:2024-10-06 05:28:08

假設兩個向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，兩個向量之間的夾角為θ，那麼根據上篇文章中向量數量積的運算規則，可以很方便地用坐标值表示夾角的餘弦值

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）1

在上述定義的基礎上，我們假設向量a、b均為單位向量、向量起始點均在原點，那麼兩個向量的終點都落在單位圓上。

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）2

由任意角的三角函數在單位圓的定義可知，單位圓上的點對應角度的餘弦值為其橫坐标值、對應角度的正弦值為其縱坐标值。設向量a的終點對應角度為α，向量b的終點對應角度為β，那麼對應的終點坐标為

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）3

易知，向量之間的夾角θ與兩個角度的關系為

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）4

将上述等式帶入等式(1)中并化簡，可得

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）5

這個等式就是三角恒等變換中的兩角差的餘弦。

由這個等式進行簡單變換便可得到其他三角恒等變換的表達式。

将等式(2)中的β替換成-β，可得

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）6

将等式(2)中的α替換成α-π/2，可得

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）7

将等式(4)中的β替換成-β，可得

向量運算與三角恒等變換（用向量推導三角恒等變換）8

我們從向量的夾角公式，結合任意角在單位圓中的定義，經過簡單變換，推導出了等式(2)(3)(4)(5)四個三角恒等變換公式。三角恒等變換公式不需要死記硬背，它們之間是可以利用誘導公式互相轉化的，理解推導的思想更加重要。

本文由小朱與數學原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

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