【考試要求】

1.理解等差數列的概念；

2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式；

3.能在具體的問題情境中識别數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題；

4.體會等差數列與一次函數的關系.

【知識梳理】

1.等差數列的概念

(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列.

數學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數).

【微點提醒】

1.已知數列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數)，則數列{an}一定是等差數列，且公差為p.

2.在等差數列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.

3.等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列.

4.數列{an}是等差數列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B為常數).

【考點聚焦】

考點一　等差數列基本量的運算

【規律方法】

1.等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題.

2.數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

考點二　等差數列的判定與證明

【遷移探究1】 本例條件不變，判斷數列{an}是否為等差數列，并說明理由.

【規律方法】

1.證明數列是等差數列的主要方法：

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數，驗證an－an－1為同一常數.

(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.

2.判定一個數列是等差數列還常用到結論：

(1)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數)⇔{an}是等差數列.

(2)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)⇔{an}是等差數列.問題的最終判定還是利用定義.

考點三　等差數列的性質及應用

角度1　等差數列項的性質

【規律方法】

1.項的性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.

2.和的性質：在等差數列{an}中，Sn為其前n項和，則

(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

(2)S2n－1＝(2n－1)an.

考點四　等差數列的前n項和及其最值

【規律方法】　求等差數列前n項和Sn的最值的常用方法：

(1)函數法：利用等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通過配方或借助圖象求二次函數的最值.

(2)利用等差數列的單調性，求出其正負轉折項，進而求Sn的最值.

【反思與感悟】

1.證明等差數列可利用定義或等差中項的性質，另外還常用前n項和Sn＝An2＋Bn及通項an＝pn＋q來判斷一個數列是否為等差數列.

2.等差數列基本量思想

(1)在解有關等差數列的基本量問題時，可通過列關于a1，d的方程組進行求解.

(2)若奇數個數成等差數列，可設中間三項為a－d，a，a＋d.

若偶數個數成等差數列，可設中間兩項為a－d，a＋d，其餘各項再依據等差數列的定義進行對稱設元.

(3)靈活使用等差數列的性質，可以大大減少運算量.

【易錯防範】

1.用定義法證明等差數列應注意“從第2項起”，如證明了an＋1－an＝d(n≥2)時，應注意驗證a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，則數列{an}不為等差數列.

2.利用二次函數性質求等差數列前n項和最值時，一定要注意自變量n是正整數.

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