平行四邊形作為特殊的四邊形，一直是中考試題中的主角。動态平行四邊形的存在性探究問題是數學中考中非常典型的一類開放性試題，經常出現在中考壓軸題中。考生往往因為選擇方法不得當而導緻計算量偏大，或因分類情況不完整而導緻漏解。為了幫助學生減輕學習負擔，借助運用平行四邊形對角線性質與判定，來探究平行四邊形的存在性問題是一個很好的途徑。

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質：（1）對應邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質，我們現在需要的是将其性質運用在在坐标系中：（1）對邊平行且相等可轉化為：

可以理解為點B移動到點A，點C移動到點D，移動路徑完全相同．

（2）對角線互相平分轉化為：

可以理解為AC的中點也是BD的中點．

當AC和BD為對角線時，結果可簡記為：A C=B D（各個點對應的橫縱坐标相加）

以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問：若坐标系中的4個點A、B、C、D滿足“A C=B D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？

反例如下：

之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點”并不是完全等價的轉化，故存在反例．

雖有反例，但并不影響運用此結論解題，在抛物線條件下的平四存在性基本不會出現共線的情況．另外，還需注意對對角線的讨論：

（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不确定需要分類讨論．

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動”和“兩定兩動”兩大類問題．

類型1 三定一動

引例：已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），在坐标系内确定點D使得以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

類型2 兩定兩動

引例：已知A（1，1）、B（3，2），點C在x軸上，點D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求C、D坐标．

5．（2019•荊州中考題）如圖，在平面直角坐标系中，平行四邊形OABC的頂點A，C的坐标分别為（6，0），（4，3），經過B，C兩點的抛物線與x軸的一個交點D的坐标為（1，0）．

（1）求該抛物線的解析式；

（2）若∠AOC的平分線交BC于點E，交抛物線的對稱軸于點F，點P是x軸上一動點，當PE PF的值最小時，求點P的坐标；

（3）在（2）的條件下，過點A作OE的垂線交BC于點H，點M，N分别為抛物線及其對稱軸上的動點，是否存在這樣的點M，N，使得以點M，N，H，E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐标，若不存在，說明理由．

【解析】（1）由平行四邊形OABC的性質求點B坐标，根據抛物線經過點B、C、D用待定系數法求解析式．

（2）由OE平分∠AOC易證得∠COE＝∠AOE＝∠OEC，故有CE＝OC，求得點E坐标，進而求得直線OE解析式．求抛物線對稱軸為直線x＝7，即求得點F坐标．作點E關于x軸的對稱點點E'，由于點P在x軸上運動，故有PE＝PE'，所以當點F、P、E'在同一直線上時，PE PF＝PE' PF＝FE'最小．用待定系數法求直線E'F解析式，即求得E'F與x軸交點P的坐标．

（3）設AH與OE相交于點G，且G的橫坐标為t，即能用t表示OG、AG的長，由AH⊥OE于點G，根據勾股定理可得AG2 OG2＝OA2，把t代入解方程即求得t的值即求得點G坐标．待定系數法求直線AG解析式，令y＝3時求x的值即為點H坐标．故可得HE＝9﹣5＝4，且點H、E關于直線x＝7對稱．由于以點M，N，H，E為頂點的平行四邊形中，H、E固定，以HE為平行四邊形的邊或對角線進行分類讨論．①以HE為邊時，可得MN∥HE，且MN＝HE，故可得點M橫坐标為3或11，代入抛物線解析式即求得縱坐标．②以HE為對角線時，根據平行四邊形對角線互相平分可得點M在抛物線對稱軸上，求頂點即可．

綜上所述，點M坐标為（3，20/9）、（11，20/9）或（7，4）．

“三定一動”的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動”中動點是在平面中，橫縱坐标都不确定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐标軸或者直線或者抛物線上，用一個字母即可表示點坐标，稱為“半動點”．

從上面例子可以看出，雖然動點數量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐标．若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量×2．

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據圖形決定的，像平行四邊形，隻能有2個未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個性質統一成一個等式：

兩個等式，隻能允許最多存在兩個未知數，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多隻能存在2個未知量．由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題．

解題策略：

1. 解析法：兩直線平行，在斜率存在的情況下，可知兩條直線的斜率k相等，再利用點斜式求出點M所在的兩條直線的解析式，聯立方程組即可求出點M的坐标；

2. 幾何法：在平面直角坐标系中常用到的數學思想方法就是“化斜為正”，即過平面内一點做坐标軸的垂線. 本題可過M點作x軸的垂線段，利用全等三角形求解點M的坐标；

3. 平移法：利用平行四邊形的圖形特征，我們可以看做它是有其中一個頂點通過四次平移得到的圖形。

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