三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的總稱；

初中三年，數學分數占了很大比列，初一基本都是計算，打好基礎，初二開始接觸各種幾何，對三角形、長方形、正方形、菱形等等都有了更多更深層次的了解；

重心定理：三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。

重心的性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。

2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是頂點坐标的算術平均數，即其重心坐标為（（X1 X2 X3）/3，（Y1 Y2 Y3）/3）。

5. 以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等于零向量。

外心定理：三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質：

1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形内部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。

4、外心到三頂點的距離相等

垂心定理 ：三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。

垂心的性質：

1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））（除正三角形）

3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

内心定理：三角形内切圓的圓心，叫做三角形的内心。

内心的性質：

1、三角形的三條内角平分線交于一點。該點即為三角形的内心。

2、直角三角形的内心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。

3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC内心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA b×向量PB c×向量PC)/(a b c).

4、O為三角形的内心，A、B、C分别為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB AC):BC

5、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分别為外接圓為和内切圓的半徑，O和I分别為其外心和内心，則OI^2=R^2-2Rr．

6、（内角平分線分三邊長度關系）

△ABC中，0為内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分線分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、内心到三角形三邊距離相等。

旁心定理 :三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質：

1、三角形一内角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點，該點即為三角形的旁心。

2、每個三角形都有三個旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

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