如果合肥電視台的記者跑到瑤海萬達去随便采訪一位小哥哥或者小姐姐，你是從什麼開始學習數學的？應該是百分之百的人都會說從1,2,3開始的啊，這大概也是全世界所有接受過數學教育的人們的共同軌迹。不會有人說他是先學加減乘除，然後才認識1,2,3的。

數學是從數字開始的

事實上，這是數學知識從零開始的第一步，創造出數字來。我們可以列舉到很大很大的數了，然後呢？那就開始研究這些數字都有哪些特質了，比如，有奇數，有偶數，有整十數，整百數。很快人們就把數字做了很多種分類，其中一個分類開啟了數字研究的先河。

古希臘人發現，在所有可以數的數裡，有一類數很特立獨行，它隻能被和自身整除，而再不能被别的整數整除了。也就是說，這一類數隻有2個約數，他們給這樣的數起了一個非常形象到位的名字，素數。與之對比，那就是除了1和自身還有别的約數的數，起名叫合數。

素數是所有數字的基礎

這樣一來，我們就可以把全體自然數（整數）分成0,1，素數，合數（1在曆史上曾經也被看做是素數）這4大類。

後來，人們逐漸發現素數有着許多不同一般的氣質。比如，你不知道它什麼時候會出現，不知道在一定範圍内有多少個素數，也不知道素數和素數之間的間隔是怎樣的。總之，自從素數被當成研究熱點以來，身上的謎團就一直都沒有停止過。

事實上，有很多素數問題即使已經被研究了幾千年，至今也仍然沒有完全解決，比如孿生素數猜想。不過也不是所有的素數問題都是巨難無比，比如同樣在古希臘的歐幾裡得就給出了一個漂亮無比的關于素數的是無窮多個的證明，這也是人類第一次用反證法進行邏輯推理，堪稱證明的典範。

歐幾裡得

假設素數是有限的，假設素數隻有有限的n個，最大的一個素數是p。

設q為所有素數之積加上1，那麼，q=（ 2×3×5×…×p ） 1不是素數。

那麼，q可以被2、3、…、p中的數整除。

而q被這2、3、…、p中任意一個整除都會餘1，與之矛盾。

所以，素數是無限的。

同樣在古希臘，人們又發現了所有合數都可以被寫成素數的幂乘積的形式。比如

6=3×2,200=2×2×2×5×5,126998236999566=2×3×3×23×12569×24406001等等。并且，這種表示方式是唯一的，你不可能把一個數用兩種不同組合的素數幂乘積的形式表示出來。也就是說，隻要用素數相乘，就可以得到所有的自然數。換句話說，那就是隻要掌握了素數的奧秘，那麼所有數的奧秘也就不會有多難了。可見，素數的研究也是數論最基礎核心的内容。

高斯大神登場

素數的數量有多少呢？當然是無窮多的，但是我們可以在小範圍内做一個大緻的估計。這項工作當然有人做過了，這就是偉大的高斯。1792年，15歲的高斯無聊時候翻了翻前1000以内的素數表，統計了一下大概個數，就得出了一個素數分布規律。這就是素數定理，雖然稱為素數定理，但是當年高斯并沒有給出證明。這個定理的證明直到19世紀末才有人完整給出。

埃爾德什曾經用非常初等的方法給出素數定理的證明

素數定理也就是這個：

素數定理

高斯認為，素數占到自然數的比例大緻相當于lnx與x的比值。我們來看下這兩個函數的特性：它們都是增函數，其中f1=x的增長率始終是1，而f2=lnx的增長率卻是1/x，顯然f2的增長得越來越慢。這也符合我們對于素數個數的直觀印象，當大範圍來統計素數個數時，素數分布會越來越稀疏。

顯然素數的個數是不會“太多”的，至少當範圍很大時，再找到一個素數不見得是一件容易的事情，比如你就很難發現1000000007是個素數。

超級計算機幫了很大忙

我們的超級計算機一直在不停找素數，并不是為了更大的素數到底能有多大。而是為了檢測算法效率和硬件水平，這是一項系統工程，可并不是在浪費計算資源。

在素數的龐大的隊伍中，人們又發現了一種更加有特質的素數，這一類素數的表示形式很簡單：2P-1，p是自然數，我們可以給出一個簡單的證明。

p也必須是素數的簡單證明

我們現在把這種素數叫作梅森素數，17世紀的馬林梅森首先對這一類的素數進行了大量系統的研究。梅森神父還對這裡的p值做了大量的猜想，他猜測當p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時，2P-1都是素數，其他p值都不會産生素數。

馬林·梅森

梅森提出這個猜測的時候是1644年，那一年大清朝剛剛建立。那個時代計算隻能用筆在紙上，也沒有什麼太先進的工具，于是，當p比較小的時候，沒啥壓力，但是到了31這裡卡住了。我們可以很簡單地得到M(31)=2147483647，但是檢驗其素性工作量卻是太大。

歐拉曾在雙目失明情況下心算驗證了M31是素數

1772年，偉大的歐拉在雙目失明的情況下，心算證明了M(31)是素數，這也是當時發現的最大素數。真是不禁感慨，不論在哪個角度上來說，歐拉都是一位頂尖的數學大師。到目前為止，梅森的猜想仍然沒有被推翻，然而到了67時，梅森猜想終于翻車了。

1903年，美國數學家柯爾在數學家大會上做了一次短小而精彩的彙報，他走上講台，迅速寫下

267-1=193707721×761838257287

人們意識到，M67原來不是一個素數，而是合數，至此梅森素數的猜想破滅了。後面的梅森素數驗證都用到了計算機，人們也開始用超級計算機來尋找更大的梅森素數。2018年12月，發現了迄今為止最大的梅森素數M(82589933),這是第51個梅森素數，如果用5号字體來書寫，有24862048位數，大家可以想象一下這個數有多大。

迄今最大梅森素數

2017年，日本一位出版商想出一個絕妙的點子，他把當時發現的最大的梅森素數M50在一本書上打印出來，這個2300多萬位的數字密密麻麻布滿了720頁紙！這本該是一本多麼枯燥無聊的書啊，可是上市之後居然在一星期裡賣出1500本，簡直匪夷所思。看來又得時候好奇心的确比真理更加讓人向往。

2017最大素數之書

前面說到形如2P-1的素數自古有之，隻不過是梅森最先系統研究，所以冠名了。那麼古代對于這樣的素數還有别的研究嗎？當然有了。

歐幾裡得最先主要到有這樣的一組數:

6=1 2 3,

28=1 2 4 7 14,

496=1 2 4 8 16 31 62 124 248,

8128=1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064，

如果仔細觀察就會發現，上面的幾個數的真約數加起來剛好等于自身。這是一個很難得的性質，在自然數中相當罕見。我們把有這樣性質的數叫完全數。

更厲害的是歐幾裡得發現，這樣的數有同樣的表現形式：2n-1×(2n-1),

歐大師

也是歐大師率先發現，隻要括号裡面是素數，那麼滿足這個形式的數就一定是自然數。這個結論不難得到，我們隻要把前面的2的幂的約數求和再與括号内的部分相乘，即可得到。怎麼括号裡的部分如此眼熟呢？這個不就是梅森素數嘛，這個還真的就是梅森素數！

現在基本上每隔一兩年都會有新聞說，又找到了新的梅森素數，如果大家仔細留意，報道裡必定還會有一句：同時也發現了新的完全數。人類目前發現了51個梅森素數，那麼也就發現了51個完全數。2400萬位數的範圍内居然隻有51個梅森素數，梅森素數的稀缺性可想而知！也難怪數學家對它如此癡迷了。

完全數

可能有同學會問了，完全數跟梅森素數就必須是一一對應的嗎，有沒有可能完全數比梅森素數多呢？上面歐大師發現的完全數的式子，全部都是偶數，不會有奇數的。那有沒有存在奇完全數呢？

這個問題其實很不好回答，再也不像是之前那樣可以暢快地介紹出來了。是否存在奇完全數研究領域也是數論領域最大的謎之一。

每年的6月28日是完全數日

過去的兩千年裡，人們想過要去找奇完全數，但是失敗了。現在人們有了大型計算機，可以撒開網，用窮舉的辦法來找奇完全數。直到2012年，人們逐一檢視了10的1500次方以内的所有奇數，沒有發現奇完全數。10的1500次方，這個數已經非常大了，看來海量捕撈的方式并不是十分奏效。人們也不放棄在理論上的研究，目前對于奇完全數有着一些比較靠譜的研究。比如這些特點，假如N是一個奇完全數，那麼

至少要包含11個不同素因子，并且不包含3，也不是立方數；

N不能被105整除；

N的一個最大素因子至少要大于10的8次方；

N的第二大素因子至少要大于10000；

N的第三大素因子要大于100；

N的第四大素因子要大于10；

N至少要有75個素因子，其中至少9個是不同的。如果3不是素因子之一，則至少要有12個不同的素因子；

。。。。。

有些數學猜想驗證到很大之後才發現是錯的

這些都是牢牢限制奇完全數存在的約束條件，其中有很多實在是太苛刻了。苛刻到驗算到10的1500次方，仍然沒有找到一個完全滿足上述要求的奇數。有人猜想是不是奇完全數是不是不存在，但是這樣的猜測其實毫無實際意義。數學中有很多猜想并不是你驗算到非常大的數字都滿足條件，就能代表所有的情況。有很多數學猜想都是驗證了很大數據之後以為成立，後來理論上證明，會在更大的情況下出現反例。沒有理論證明，誰都不敢保證結論一定正确，數學上尤其如此。

現在基本上很難考證，完全數和梅森素數誰更早地被發現。這兩個特殊的數字還有相當多的謎團需要去破解，梅森素數有無窮多個嗎？奇完全數是否存在？隻要能解出一個問題，都必将跻身人類最優秀數學家行列。我們非常欣喜得看到這對數字就像是黃金搭檔一般，不分彼此。

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