小數老師說：

最近許多高二的同學問必修二點線面之間的知識點，普遍感覺這塊非常難學，小數老師今天整理了易錯點和例題給大家，歡迎轉發！

文章較長，建議先收藏再看！

[整合·網絡構建]

[警示·易錯提醒]

1．不要随意推廣平面幾何中的結論

平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間中不一定成立．例如“過直線外一點隻能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質在空間中就不成立．

2．弄清楚空間點、線、面的位置關系

解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應用準确、考慮問題全面細緻

．

3．不要忽略異面直線所成的角的範圍

求異面

直線所成的角的時候，要注意它的取值範圍是(0°，90°]．

兩異面直線所成的角轉化為一個三角形的内角時，容易忽略這個三角形的内角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．

4．透徹理解直線與平面的關系

直線與平面位置關系的分類要清晰，一種分法是直線在平面内與直線在平面外(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無公共點)和直線與平面不平行(直線在平面内和直線與平面相交)．

5．使用判定定理時不要忽略條件

應用直線與平面垂直的判定定理時，要熟記定理的應用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關鍵點

（文末有word版本領取方式）

專題1　共點、共線、共面問題

(1)證明共面問題．

證明共面問題，一般有兩種證法：一是先由某些元素确定一個平面，再證明其餘元素在這個平面内；二是先分别由不同元素确定若幹個平面，再證明這些平面重合．

(2)證明三點共線問題．

證明空間三點共線問題，通常證明這些點都在兩個面的交線上，即先确定出某兩點在某兩個平面的交線上，再證明第三個點是兩個平面的公共點，當然必在兩個平面的交線上．

(3)證明三線共點問題．

證明空間三線共點問題，先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點，把問題轉化為證明點在直線上的問題．

[例1]　如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分别為AB，AD 的中點，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求證：

(1)E，F，G，H四點共面；

(2)EG與HF的交點在直線AC上．

證明：(1)因為BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.

又因為E，F分别為AB，AD的中點，所以EF∥BD.

所以EF∥GH.所以E，F，G，H四點共面．

(2)因為G，H不是BC，CD的中點，

所以EF∥GH，且EF≠GH.

所以EG與FH必相交，設交點為M.

而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，

所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.

因為平面ABC∩平面ACD＝AC，

所以M∈AC，即EG與HF的交點在直線AC上．

歸納升華

證明共點、共線、共面問題的關鍵是合理地利用三個公理，做到合理、恰當地轉化．

[變式訓練]　三個平面α，β，γ兩兩相交于三條直線，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ ∩α＝b，若直線a和b不平行，求證：a，b，c三條直線必相交于同一點．

證明：如圖所示，因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.

因為直線a和b不平行，所以a，b必相交．

設α ∩b＝P，則P ∈a，P ∈b.

因為a ⊂β，b⊂α，所以P ∈β，P ∈α.

又α ∩β＝c，所以P ∈c.

所以a，b，c三條直線必相交于同一點．

專題2　空間中的位置關系

(1)空間中兩直線的位置關系：相交、平行、異面．

(2)空間中直線與平面的位置關系：直線在平面内、直線與平面平行、直線與平面相交．

(3)兩個平面的位置關系：平行、相交．

[例2]　已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面．下列說法正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，則m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，則m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α

解析：若m∥α，n∥α，則m，n可能平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n⊂α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面内任一直線，B正确；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n⊂α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D錯．

答案：B

歸納升華

若要否定一個結論，則隻要舉出一個反例即可；若要肯定一個結論，則需要進行嚴密的邏輯推理．

[變式訓練]　下列命題正确的有(　　)

①若一直線a與平面α内一直線b平行，則a∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④垂直于同一條直線的兩個平面平行．

A．0個　　　　B．1個　　　　C．2個　　　　D．3個

解析：由a∥b，b⊂α，可得出a⊂α，或a∥α，①不正确．a⊄α有兩種情況，即a∥α和a與α相交，②不正确．垂直于同一條直線的兩條直線可能相交、平行或異面，③不正确．④正确．故選B.

答案：B

專題3　平行問題和垂直問題

線線、線面、面面的平行與垂直是本章的重點，它包含了相關平行與垂直的證明，利用平行與垂直解決線、面等問題．其判定與性質之間并非孤立的，而是存在線線、線面、面面間平行與垂直關系的相互轉化．在高考中，常以解答題形式出現，其中線面平行和垂直是重中之重．

[例3]　如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中點．求證：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

證明：(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.

(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四邊形ABED為平行四邊形．

所以BE∥AD.

又因為BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)，知PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD，

所以CD⊥PD.

因為E和F分别是CD和PC的中點，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

歸

納升華

1．平行關系的轉化．

面面平行的性質是線線平行的判定

要判定某一平行的過程就是從一平行出發不斷轉化的過程，在解題時把握這一點，靈活确定轉化的思想和方向

2．垂直關系的轉化．

面面垂直

的性質是

線線垂直的判定

在證明兩平面垂直時一般從現有直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線不存在，則可通過作輔助線來解決．當有面面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面内作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，進一步轉化為線線垂直．

[變式訓練]　如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.

求證：(1)DE∥平面AA1C

1C；

(2)BC1⊥AB1.

證明：(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.

因為DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因為棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.

又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因為AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.

又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

專題4　空間角的求

解

空間角一般指兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角．

[例4]　如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，求：

(1)AO與A′C′所成角的度數；

(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；

(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數．

解：(1)因為A′C′∥AC，

所

以AO與A′C′所成的角就是∠OAC.

因為OC⊥OB，AB⊥平面BC′，

所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.

所以OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝

，AC＝

，sin∠OAC＝ACOC＝21，

所以∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數為30°.

(2)如圖所示，作OE⊥BC于點E，連接AE，

因為平面BC′⊥平面ABCD，

所以OE⊥平面ABCD，

∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝21，

(3)因為OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB.

又因為OC⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB與平面AOC所成角的度數為90°.

歸納升華

求空間角的問題，無論哪種情況，最終都歸結到兩條相交直線所成的角的問題．求空間角的解題步驟：①找出這個角；②說明該角符合題意；③構造出含這個角的三角形，解三角形，求出角．

[變式訓練]如圖所示，平面角為銳角的二面角α­EFβ，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，求二面角α­EF­β的大小．

解：作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，連接GB.

則GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．

又∠GAH是AG與β 所成的角，

專題5　轉化與化歸思想在立體幾何中的應用

立體幾何中最重要、最常用的思想就是轉化與化歸思想．

(1)線線、線面、面面的位置關系，通過轉化，使它們建立聯系，如面面平行

線面平行

線線平行，面面垂直

線面垂直

線線垂直等，有關線面位置關系的論證往往就是通過這種聯系和轉化得到解決的．

(2)通過平移，将一些線面關系轉化為平面内的線線關系，通過線面平行，将空間角最終轉化為平面角，并構造三角形，借助于三角形的知識解決問題．

(3)通過添加輔助線，将立體問題轉化為平

面問題．

[例5]　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請确定點F的位置；若不存在，請說明理由．

解：當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD.

證明如下：如圖，連接BD和AC交于點O，連接FO，那麼PF＝21PB.

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以O是BD的中點，所以OF∥PD.

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，所以OF∥平面PMD.

又AM綊21PB，所以PF綊MA.

所以四邊形AFPM是平行四邊形，

所以AF∥PM.

又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，所以AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，

所以平面AFC∥平面PMD.

歸納升華

證明垂直關系時，注意面面垂直、線面垂直與線線垂直的相互轉化．一般地，面面垂直問題可轉化為線面垂直問題，線面垂直問題可轉化為線線垂直問題．[變式訓練]　在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，過E作EF⊥PB于點F.

(1)求證：PA∥平面EDB；

(2)求證：PB⊥平面EFD.

證明：(1)連接AC，交BD于點O，連接EO.

因為底面ABCD是正方形，

所以O是AC的中點，

所以在△PAC中，EO是中位線，

所以PA∥EO.

又因為EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

所以PA∥平面EDB.

(2)因為PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，

所以PD⊥DC.

因為PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形．

又因為DE是斜邊PC的中線，所以DE⊥PC.

因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.

因為底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，

所以BC⊥平面PDC.

又因為DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.

所以DE⊥平面PBC.

又因為PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.

又因為EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD.

終于看完了...你們看文章都花了這麼久時間，你們知道小數老師寫文章花了多久嗎...（快去給我點個贊嘛）

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