大家好，我是青蒿數學宋老師，今天分享的内容是函數的定義。提起函數，毫無疑問，是高中數學中最重要的模塊，重要到什麼程度呢，高考中一半以上的題目都跟函數有關系！

但對于這麼一個重要的問題，很多同學卻對函數的定義不甚了解，從而導緻解題過程中出現這樣那樣的錯誤，今天宋老師就帶你深入理解一下這個概念。

1. 函數與映射的關系及其官方定義

在初中，函數的定義是從“自變量x與因變量y之間的變化關系”這個角度來進行定義的。

而高中階段，函數的定義是從集合的角度來進行定義的，所以把函數與集合放在第一章（人教版）。說起函數，就不得不提到另外一個概念——“映射”，下面我們把課本對這兩個概念的定義放在下面進行對比：

函數與映射的關系

上面的定義是用數學的語言進行描述的，因此，看起來比較抽象，後面宋老師會給大家進行通俗的解讀。

但僅從字面意義也可以看出，函數與映射的定義幾乎完全一樣！二者都是描述的兩個集合之間元素與元素的對應關系。

唯一的區别是函數描述的兩個數集間的元素對應關系，而映射描述的是任意兩個集合間元素的對應關系。因此，函數是一種特殊的映射。

大家可能覺得映射這個概念比較陌生，其實，你從幼兒園就開始玩映射遊戲啦，我們可以用兩個例子進行說明：

函數和映射的例子

2. 函數定義的關鍵點

研究透函數的定義是學好函數的基礎，在函數的定義中有以下幾點是非常重要及易錯的，也是最常見的考點：

（1）任意性：集合A中的任意一個元素必須在集合B中有元素與其相對應，即集合A中的元素不可以有空缺；

任意性

（2）唯一性：集合A中的元素隻可以跟集合B中的一個元素相對應，不可以對應多個，即 “可以多對一，不可以一對多”；

唯一性

（3）函數三要素：①定義域，即集合A中的所有元素；②對應法則，即集合A中的元素是按照什麼原則與集合B中的元素進行對應，常以解解析式的形式出現；③值域，是集合B中有元素與其相對應的元素所構成的集合，即值域包含于B，這是個易錯點。對于一個函數來說，隻要定義域和對應法則确定，則該函數就确定了。

三要素

3. 函數定義的通俗版解釋

為了讓大家更加深入的理解函數，避免死記硬背，宋老師用通俗的語言來解釋一下函數的定義。

函數，就是兩個集合間的對應關系，我們可以把集合A看成女生，集合B看成男生。因此，所謂的函數，就是女生、男生找對象的遊戲，每一個女生都是天使，都必須要嫁出去（任意性），但不能一女二嫁（唯一性），當然啦，多個女生是可以嫁給同一個男生的（封建社會），其中，隻有找到對象的男生才有資格稱為值域的一員，單身狗是沒資格滴！

通俗理解例題1

通俗理解例題2

4. 函數的表示及解析式的理解

我們知道，表示一個函數有三種方法：解析式法、圖象法及列表法，其中重點是解析式法，是我們最常用的，而圖象法是我們解題重要的輔助，便于我們數形結合的解決問題。

但教學過程中發現，很多同學對函數解析式的理解不到位。

解析式題解

因此，函數也可以看成一個“數字轉化機”，那一對括号可以看成一個大嘴巴，等号後面就是輸出的結果，往嘴巴裡放入任何一個數字，都會按照既定的遊戲規則輸出。

數字轉化機

而分段函數，則可以看成這個“數字轉化機”變的聰明了，會根據輸入的數值不同，采用不同的遊戲規則。因此涉及到分段函數時，大多數情況下都要進行分類讨論。

數字轉化機

最後來一道經典的例題，看看大家對函數的理解如何：

經典例題

答案解析

答案解析

答案解析

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