麥克斯韋-玻爾茲曼分布是描述一定溫度下，理想氣體分子運動速度的概率分布。宏觀物理系統的溫度，微觀上來講就是大量分子熱運動的劇烈程度。單個氣體分子的熱運動有一個速度範圍，通過與其它分子的碰撞而不斷變化。然而對于大量氣體分子來說，處于特定的速度範圍的分子所占的比例基本不變。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布就是理想氣體分子的速度關于系統溫度的函數：

在這之前，首先了解什麼是理想氣體，以及系統的玻爾茲曼分布。

1、一定質量的氣體，在等溫過程中，壓強跟體積成反比。即P1V1=P2V2=C1。

2、一定質量的氣體，在壓強不變時，體積與溫度成正比。即V1/T1=V2/T2=C2。

3、一定質量的氣體，當體積一定時，壓強與溫度成正比。即 P1/T1=P2/T2=C3。

綜合氣體三定律可得PV/T=C，C表示常量。

在任何情況下都遵守氣體三定律，服從方程PV/T=C的氣體稱為理想氣體。其有三大性質：

1、理想氣體分子之間沒有相互作用力，即沒有分子勢能。

2、理想氣體分子的碰撞不造成動能損失。

3、理想氣體的内能是氣體分子動能之和。

玻爾茲曼分布是系統中的粒子在各種可能的能量狀态下的概率分布：

F∝e^(-ε/kT)

ε表示某個能量态的能量。

其概率密度分布為：

Pi=(e^-ε/kT)/∑(e^-εi/kT)

其中Pi是能量态i的概率，εi是量子态i的能量，k是玻爾茲曼常數，T是熱力學溫度，∑是對系統各個能量态概率的求和。

Pi=Ni/N

其中Ni為處于i能量态的粒子數，N為系統中的粒子總數。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布也是一種玻爾茲曼分布，對于理想氣體，能量是分子動能之和。氣體分子的動能表示為：

E=mV²/2

m是單個分子的質量，V是分子速度矢量(Vx,Vy,Vz)。

将其代入玻爾茲曼分布：

Ni/N=(e^-ε/kT)/∑(e^-εi/kT)

=(e^-mV²/2kT)/∑(e^-mVi²/2kT)

根據Ni/N的分布與具有這些速度的氣體分子的概率密度函數f(V)成正比，可知：

f(V)=C*(e^-mV²/2kT)/∑(e^-mVi²/2kT)

C是歸一化常數，因為分子具有各種速度的概率必須為1，即上式在速度矢量V上的積分等于1，于是：

C=∑(e^-mVi²/2kT)/(m/2πkT)^(3/2)

代入f(V)可得：

f(V)=(m/2πkT)^(3/2)*e^(-mV²/2kT)

速度的麥克斯韋- 玻爾茲曼分布可以立即從速度矢量的分布得到,考慮到速度矢量是三維的，可得：

v=√( Vx² Vy² Vz²)

積分元是：dVxdVydVz

球坐标下的體積單位是：

dVxdVydVz=v²sinθdrdθdφ=v²dvdΩ

因為全空間立體角的積分值為4π，可知：

v²dv ∫dΩ=4πv²dv

最後通過對概率密度函數f(V)積分可得到速度的麥克斯韋- 玻爾茲曼概率分布：

f(v)=(m/2πkT)^(3/2)*4πv²*e^(-mv²/2kT)

麥克斯韋-玻爾茲曼分布是分子運動論的基礎，诠釋了壓強和擴散等許多基本的氣體性質。對于理想氣體分子而言，粒子之間沒有相互作用，量子效應可以忽略，因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布提供了非常好的近似。但是當粒子的量子波長與粒子間距之比不夠小時，量子效應不可忽略，則該分布就不再适用，這時就涉及到費米-狄拉克分布和玻色-愛因斯坦分布，進入了真正的量子分布領域。

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