前一篇文章寫的是離散型随機變量的概率分布，今天我們來聊聊連續型随機變量的概率分布。

并非所有的數據都是連續的，根據數據類型的不同，有不同的求概率的方法，對于離散型随機變量的概率分布，我們關心的是取某一個特定數值下的概率，而對于連續型随機變量的概率分布，我們關心的是取某一個特定範圍内的概率。

首先要提到的一個概念就是：

概率密度函數

概率密度函數用來描述連續型随機變量的概率分布，用函數f(x)表示連續型随機變量，将f(x)就稱為概率密度函數，概率密度并非概率，隻是一種表示概率的方法，大家不要混淆，其曲線下面的面積表示概率。

概率密度函數下方的總面積為1，因為面積代表概率，而概率是必須為1。

下面是三種典型的連續型随機變量的概率分布

随機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正态分布，就是正态分布，也叫做高斯分布，通常記做：

标準正态分布

正态分布是一個鐘形曲線，曲線對稱，中央部分的概率密度最大，越往兩邊，概率密度越小。μ決定了曲線的中央位置，σ決定了曲線的分散性，σ越大，曲線越平緩，σ越小，曲線越陡峭。

正态分布的概率密度函數滿足：

連續型随機變量的理想模型就是正态分布，求正态分布的概率同樣是求概率密度曲線下的面積，曲線的面積如何求？沒關系，已經有前人栽樹了，總結好了一整套的概率對應表，我們就直接乘涼就好了，其實求正态分布下的概率，是高中數學的知識點，但是如今我們完全可以借助Excel、Python這些工具也是可以直接計算出來，就沒必要學習怎麼去手算了。

标準正态分布的意義是，任何一個正态分布都可以通過線性變換轉換為标準正态分布。

正态分布

很多實際問題都是符合正态分布的，如身高、體重等。正态分布在質量管理中也應用的非常廣泛，“3σ原則”就是在正态分布的原理上建立的。3σ原則是：

• 數值分布在（μ—σ,μ σ)中的概率為0.6826
• 數值分布在（μ—2σ,μ 2σ)中的概率為0.9544
• 數值分布在（μ—3σ,μ 3σ)中的概率為0.9974 因此可以認為,Y 的取值幾乎全部集中在（μ—3σ,μ 3σ)]區間内,超出這個範圍的可能性僅占不到0.3%，這是一個小概率事件，通常在一次試驗中是不會發生的，一旦發生就可以認為質量出現了異常。

可以用Python裡的matplotlib來畫一下正态分布

scipy.stats 是 scipy 專門用于統計的函數庫，所有的統計函數都位于子包 scipy.stats 中

fig,ax=plt.subplots(1,1) loc=1 scale=2.0 #平均值,方差,偏度,峰度 mean,var,skew,kurt=norm.stats(loc,scale,moments='mvsk') #printmean,var,skew,kurt #ppf:累積分布函數的反函數。q=0.01時，ppf就是p(X<x)=0.01時的x值。 x=np.linspace(norm.ppf(0.01,loc,scale),norm.ppf(0.99,loc,scale),100) ax.plot(x,norm.pdf(x,loc,scale),'b-',label='norm') plt.title(u'正态分布概率密度函數') plt.show()

結果：

均勻分布，也叫矩形分布，是概率密度函數在結果區間内為固定數值的分布

均勻分布

它的概率密度函數為：

均勻分布在自然情況下極為罕見，同樣來畫一下均勻分布

#均勻分布 fig,ax=plt.subplots(1,1) loc=1 scale=1 #平均值,方差,偏度,峰度 mean,var,skew,kurt=uniform.stats(loc,scale,moments='mvsk') #ppf:累積分布函數的反函數。q=0.01時，ppf就是p(X<x)=0.01時的x值。 x=np.linspace(uniform.ppf(0.01,loc,scale),uniform.ppf(0.99,loc,scale),100) ax.plot(x,uniform.pdf(x,loc,scale),'b-',label='uniform') plt.title(u'均勻分布概率密度函數') plt.show()

結果：

指數分布是描述泊松過程中的事件之間的時間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續且獨立地發生的過程。如旅客進機場的時間間隔，還有許多電子産品的壽命分布一般服從指數分布。

指數分布

其概率密度函數為：

指數分布具有無記憶的關鍵性質。這表示如果一個随機變量呈指數分布，當s,t>0時有P(T>t s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。用Python畫指數分布的概率密度函數

fig,ax=plt.subplots(1,1) lambdaUse=2 loc=0 scale=1.0/lambdaUse #平均值,方差,偏度,峰度 mean,var,skew,kurt=expon.stats(loc,scale,moments='mvsk') #ppf:累積分布函數的反函數。q=0.01時，ppf就是p(X<x)=0.01時的x值。 x=np.linspace(expon.ppf(0.01,loc,scale),expon.ppf(0.99,loc,scale),100) ax.plot(x,expon.pdf(x,loc,scale),'b-',label='expon') plt.title(u'指數分布概率密度函數') plt.show()

結果：

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