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等體積法求立體幾何體積

圖文更新时间:2025-01-22 00:32:15

一個立體幾何的求體積的問題

一個金字塔（四面體）的底面是個正方形ABCD，頂點為E，底面ABCD的面積為196，三角形△ABE和△CDE的面積分别是105和91，求四面體的體積。

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）1

解1：如圖，做出兩個側面的高EF和EG，很容易證明三角形EM的高就是E點到底面的距離。

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）2

正方形ABCD面積=196，推出邊長為14，

△ABE的面積=14m/2=105, 推出m=15

△CDE的面積=14n/2=91, 推出n=13,

三角形EFG的三邊已知，分别是13， 14， 15，可以利用海倫定理求其面積：

s=(13 14 15)/2=21

因此三角形EFG的面積為：

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）3

四面體的高h可通過面積求出， 14h/2=84, h=12

因此

四面體的體積=Sh/3=196x12/3=784

解法2：

求高h的另一種方法，如圖從BCE的側面看三角形EFG，有

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）4

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）5

兩側相等：

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）6

因此：

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）7

因此四面體的體積：

等體積法求立體幾何體積（一個立體幾何的求體積的問題）8

後記：求三角形面積雖然在給三邊的情況下可用海倫定理，但有可能計算繁複，第二種方法利用勾股定求高是常用的方法。

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