一、集合

1、集合的概念：

把某些确定的對象看成是一個整體，這個整體就叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母A、B、C······表示。

2、元素的概念：

集合中每個确定的對象叫做這個集合的元素，集合中的每個元素都屬于這個集合，用“∈”表示。元素通常用小寫字母a、b、c······表示。

例如：a為集合A中一元素，則a與A的關系可以表示為a∈A等等。

3、集合的三個特性：

①确定性：對于一個給定的集合，任何一個對象可能是這個集合中的元素，也可能不是這個集合中的元素，這是最基本的特性。

②互異性：集合中的任何兩個元素都是能區分的（即互不相同的），相同的對象歸入任何一個集合時，隻能算作這個集合的一個元素。

③無序性：在一個集合中，通常不考慮它的元素之間的順序。

例如：集合{1，2，3}和集合{1、3、2}是相等的，即：{1，2，3}={1、3、2}等等。

4、常用數集：

①自然數（非負整數）集：0、1、2、3········，記作N。

②正整數（正自然數）集：1、2、3··········，記作N*或N 。

③整數集：··············-2、-1、0、1、2··············，記作Z。

④有理數集：整數和分數，記作Q。

⑤實數集：有理數和無理數，記作R。

5、集合的分類（按照元素個數分）：

①空集（0個）：不含任一元素的集合，記作∅。

②有限集（有限個）：例如：集合{1，2，3}等等。

③無限集（無限個）：例如：集合N、Z、Q、R等等。

6、集合的表示方法：

①列舉法：當集合中元素不多時，我們常常把集合的元素一一列舉出來，寫在大括号内表示這個集合。

例如：集合{1，2，3，4}等等。

②性質描述法：當集合中元素較多時，使用列舉法把集合的元素一一列舉出來則會相對麻煩。給定x的取值集合q，如果屬于集合A的任一元素x都具有性質p（x），而不屬于集合A的元素都不具有性質p(x)，則性質p（x）叫做集合A的特征性質。集合A用其特征性質p（x）可以描述為：{x∈q|p（x）}，它表示集合A是由集合q中具有性質p（x）的所有元素所構成的。

例如：集合{1，2，3}用性質描述法可以表示為{x|1≤x＜4且x∈Z}等等。

7、子集：如果集合B中的元素都是集合A中的元素，那麼我們把集合B叫做集合A的子集。用”⊆/⊇“表示。

例如：集合{1，2}的子集為：∅、{1}、{2}、{1，2}，則有{1}⊆{1，2}等等。

相等集合：如果兩個集合中的元素分别相等，那麼這兩個集合相等。它們的元素和與積也分别相等。即：A⊆B，B⊆A⇔A=B。

當一個集合中元素的個數為0、1、2、3········時，子集的個數分别有1、2、4、8········，通過觀察我們可以得出子集個數與集合元素個數之間的關系為：如果集合A有n個元素時，子集個數有2^n（n∈N）個。

在任何非空集合中，如果集合有n個元素時，子集有2^n（n∈N）個，那麼，含m個元素的子集有2^n-2^（n-m）（m≤n且m、n∈N ）個【此公式可以理解為由（n個元素的集合的子集）減去（n個元素中除去m個元素的所有元素的子集）】

8、真子集：如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一個元素不屬于B，那麼我們把集合B叫做集合A的真子集。用”⊂/⊃“或“⫋/⫌”表示。

例如：集合{1，2}的真子集為：∅、{1}、{2}，則有{1}⊂{1，2}等等。

如果集合A有n個元素時，真子集個數有2^n-1（n∈N）個；非空真子集個數有2^n-2（n∈N）個。

9、交集：

（1）概念：一般地，對于兩個給定的集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”。用性質描述法可以表示成：A∩B={x|x∈A且x∈B}。

（2）性質：

①A∩A=A

②A∩∅=∅

③A∩U=A（U為給定對象的全集）

④A∩B=B∩A

⑤A⊆B⇔A∩B=A

10、并集：

（1）概念：一般地，對于兩個給定的集合A、B，由所有屬于A或屬于B的所有元素組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”。用性質描述法可以表示成：A∪B={x|x∈A或x∈B}。

（2）性質：

①A∪A=A

②A∪∅=A

③A∪U=U（U為給定對象的全集）

④A∪B=B∪A

⑤A⊆B⇔A∪B=B

⑥A∩B⊆A⊆A∪B，A∩B⊆B⊆A∪B（A≠∅且B≠∅）

11、補集：

（1）概念：如果集合A是全集U的子集，那麼由U中不屬于A的所有元素組成的集合叫做A在U中的補集，記作CuA，讀作“A在U中的補集”。用性質描述法可以表示成：CuA={x|x∉A且x∈U}。

（2）性質：

①CuA∪A=U

②Cu（CuA）=A

③（CuA）∩A=∅

④Cu（A∪B）=CuA∩CuB

⑤CuA（A∩B）=CuA∪CuB

⑥Card（A∪B）=Card（A） Card（B）-Card（A∩B）(“Card”為集合中元素的個數)

12、空集：

（1）概念：不含任一元素的集合，記作∅。

（2）性質：

①空集是任何集合的子集。

②空集是任何非空集合的真子集。

③空集隻有一個子集，就是它本身。

二、簡易邏輯

1、命題：用語言、符号或式子表達，可以判斷真假的陳述句。

判斷為真的語句叫做真命題；判斷為假的語句叫做假命題。

2、充分條件、必要條件、充要條件

①充分條件：“如果p則q”是真命題且“如果q則p”是假命題時，我們就說由p可推出q，稱p是q的充分條件，記作p⇒q。

②必要條件：“如果p則q”是假命題且“如果q則p”是真命題時，我們就說由q可推出p，稱p是q的必要條件，記作p⇐q。

③充要條件：“如果p則q”是真命題且“如果q則p”是真命題時，我們就說由p可推出q且由q可推出p，稱p是q的必要條件，記作p⇔q。

3、①存在量詞命題（特稱命題）p：∃x∈A，p（x)；它的否定是⇁p：∀x∈A，⇁p（x）。

②全稱量詞命題（全稱命題）q：∀x∈A，q（x)；它的否定是⇁q：∃x∈A，⇁q（x）。

4、逆否命題：

概念：如果兩個命題中一個命題的條件和結論分别是另一個命題的結論和條件的否定 ，則這兩個命題稱互為逆否命題。

①原命題：如果p，則q。

②逆命題：如果q，則p。

③否命題：如果⇁p，則⇁q。

④逆否命題：如果⇁q，則⇁p。

思考問題需要邏輯思維

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!