2021年湖南嶽陽中考數學壓軸題中有一雙隐形的翅膀。這是一道與抛物線、軸對稱和相似三角形有關的題目。希望大家能順利拿下這對隐形的翅膀，不要天使折翼，沉戟中考考場。

如圖①，直線y=4x/3 4交x軸于點A，交y軸于點C，過A、C兩點的抛物線F1交x軸于另一點B(1,0).

(1)求抛物線F1所表示的二次函數的表達式；

(2)若點M是抛物線F1位于第二象限圖像上的一點，設四邊形MAOC和△BOC的面積分别為 S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC-S△BOC，求S最大時點M的坐标及S的最大值；

(3)如圖②，将抛物線F1沿y軸翻折并“複制”得到抛物線F2，點A、B與(2)中所求的點M的對應點分别為A’、B’、M’，過點M’作M’E⊥x軸于點E，交直線A’C于點D，在x軸上是否存在點P，使得以A’、D、P為頂點的三角形與△AB’C相似？若存在，請求出點P的坐标；若不存在，請說明理由。

解：(1)當x=0時，y=4x/3 4=4，∴C(0,4);

當4x/3 4=0時，x=-3，∴A(-3,0);

可設F1的表達式為：y=ax^2 bx 4，【接下來可以選擇用待定系數法列方程組，也可以選擇運用韋達定理。老黃喜歡用後者】

則4/a=-3，-b/a=-2，

解得：a=-4/3，b=-8/3.

∴抛物線F1的表達式為：y=-4x^2/3-8x/3 4.【這道題還是有一定設計的。由于這個結果會直接影響到下面兩道小題的解答，所以建議把各點坐标代入檢驗一下，确保準确】

(2)易知，當M到AC的距離最大時，S最大. 【因為此時三角形ACM的面積最大，而三角形AOC和三角形BOC的面積是一定的】

直線AC的斜率k=4/3. 設過M的直線：y=4x/3 c. 【取過M點與AC平行的直線，則當這條直線與抛物線隻有一個公共點時，三角形ACM的面積最大】

則當-4x^2/3-8x/3 4=4x/3 c，即4x^2 12x 3c-12=0，【列二次方程，求直線和抛物線的交點情況】

且△=122-16(3c-12)=0時，c=7，【再把c代入上面的二次方程】

解得：x=-3/2, y=-4x2/3-8x/3 4=5，即M(-3/2,5).

此時，S四邊形MAOC=5×(-3/2-(-3))/2 (4 5)×(3/2)/2=21/2. 【這是把四邊形MAOC的面積看作一個三角形和一個直角梯形的面積和。過M點作x軸的垂線段，就可以發現了。這個選擇很重要，否則，用其它方法，運算基本上都會很繁瑣】

S△BOC=4×1/2=2. ∴S=21/2-2=17/2最大.

(3)由對稱性有M’(3/2,5)，A’(3,0)，B’(-1,0)，【您看到圖②中隐形的翅膀了嗎？】

A’C的解析式為：y=-4x/3 4，當x=3/2時，y=-4x/3 4=2，∴D(3/2,2).

E(3/2,0)，∴E是OA’的中點，

AC=A’C=根号(3^2 4^2)=5，

A’D=A’C/2=5/2，【這是三角形中位線的判定定理：過三角形一邊中點，平行于第三邊的直線，是三角形的一條中位線所在的直線，所以點D是A'C的中點】

AB’=-1-(-3)=2，設P(p,0),【注意，相似三角形中，A和A'肯定是對應點，因為以它們為頂點的角相等。而三角形AB'C又不是等腰三角形】

若△A’PD∽△AB’C，A’P/AB’=A’D/AC，即(3-p)/2=1/2 ，解得：p=2，

若△A’DP∽△AB’C，A’D/AB’=A’P/AC，即(5/2)/2=(3-p)/5，解得：p=-13/4，

∴P(2,0)或P(-13/4,0).

怎麼樣？您拿下這對隐形的翅膀了嗎？

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