#頭條創作挑戰賽#

數學是幫助人們了解這個世界的一種工具，而衆多的數學工具中，高數無疑是最合适的一種。因為對一部分人來說，它難但又不至于太難，一般有高中文化程度的人，都能看懂。對另外一部分人來說，它容易但也不至于太容易，無論你的水平有多高，都還是要花一點時間和精力去探究思考，才能想明白的。

比如下面這道關于開覆蓋到底是有限的開覆蓋，還是無限的開覆蓋的問題，多少就還是有點傷腦筋的，不過也不至于太傷腦筋，看懂了，你的智力水平，就有可能得到一定程度的提升。

設H={(1/(n 2), 1/n)|n=1,2,…}是一個無限開區間集，問：

(1)H能否覆蓋(0,1)?

(2)能否從H中取出有限個開區間覆蓋(0,1/2)?

(3)能否從H中取出有限個開區間覆蓋(1/100,1)?

注：所謂覆蓋，就是被覆蓋的點集中，每一個點都包含在覆蓋住它的區間集的至少一個區間中。而這個區間集通常取的是開區間集，因此也稱為開覆蓋。如果這個開區間集中的開區間形式的元素是有限的，那麼就稱為有限開覆蓋。如果這個開區間集中的開區間元素是無限的，那麼就稱為無限開覆蓋。這個問題細想，其實就是一個複雜的幼兒園問題。

解：(1)對任意x∈(0,1), 存在n, 使1/(n 2)<x<1/n, ∴H能覆蓋(0,1).【高數中有很多這樣扯不明白的問題。像是(0,1)和H在做“勇士與烏龜”的賽跑。(0,1)說，我有一個極小的正數x。H就說，放心，我有一個n，使得1/(n 2)比x更小。(0,1)又說，我的x小到比你的1/(n 2)更小。H說，有多小啊？(0,1)說，1/(n 3), 這麼小。H笑着說，就這，我還有一個n 2, 使得1/(n 4)比你的1/(n 3)更小。然後兩者就這樣沒完沒了地扯下去，不論x有多小，H總能找到一個比它小的數覆蓋住它，這就形成了無限開覆蓋。右端點就不需要這麼扯，不論(0,1)說，我有一個多接近1又小于1的x，H都隻要說“我有右端點1”就夠了】

(2)對H中任意有限個開區間，設其中左端點最小為1/(N 2),【由(1)可知，H是(0,1)的無限開覆蓋，是由左端點0造成的，(0,1/2)仍有左端點0，所以隻能是無限開覆蓋。假如H先出牌“1/(N 2)”，那麼(0,1/2)就會說，慢點，我有比它小的】

則當0<x<1/(N 3)<1/2時, 這有限個開區間就不能覆蓋x.【這就是(0,1/2)暫時取得優勢的時候，但不要高興得太早，因為H隻要是一個無限開區間集，它始終就有辦法，奪回這個優勢，取得最終的勝利。隻是這個“最終”到底是什麼時候？那是到天荒地老的時候，進入微觀世界去觀察，1秒大于1億年，别說是你了，宇宙的盡頭都看不到結局】

∴不能從H中取出有限個開區間覆蓋(0, 1/2).【最終就證明了，隻有H是無限開區間集，才能覆蓋住(0,1/2)】

(3)記H’={(1/(n 2), 1/n)|n≤99}, 且(1/3,1)U(1/4,1/2)U…U(1/101,1/99)=(1/101,1),【現在排除了左端點0，那麼H隻要出到比新的左端點1/100小的牌，比如1/101，就有可能實現有限開覆蓋了】

任意x∈(1/100,1)⊂(1/101,1),

∴H能取出有限個開區間覆蓋(1/100,1).【所以不能有限開覆蓋左端點0，不是0本身的問題，是H的能力不夠的問題。所以當你學不好高數的時候，别老是說“高數太難”】

怎麼樣？你還敢說這不是複雜化的幼兒園問題嗎？

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