人們在長期實踐中認識到頻率具有穩定性，即當實驗次數不斷增加時，頻率穩定在一個數附近，這一事實顯示了可以用一個數來表征事件發生的可能性大小，這使人們認識到概率的客觀存在，進而由頻率的性質的啟發和抽象給出了概率的定義，因而頻率的穩定性是概率客觀存在的基礎，伯努利大數定理則以嚴密的數學形式論證了頻率的穩定性。

在談論伯努利大數定理之前，我們先看一下大數定理。

大數定律

随機事件A的頻率 f(A)當重複試驗的次數n​增大時，總是呈現出穩定性，穩定在某一個常數附近。頻率的穩定性是概率定義的客觀基礎。

伯努利大數定理

設X1,X2,...,Xn是獨立同分布的随機變量，記它們的公共均值為μ。又設它們的方差存在并記為σ2。則對任意給定的ε>0，有

這個式子指出了“當n很大時，Xˉn​接近μ”的确切含義。這裡的“接近”是概率上的，也就是說雖然概率非常小，但還是有一定的概率出現意外情況（例如上面的式子中概率大于ε）。隻是這樣的可能性越來越小，這樣的收斂性，在概率論中叫做“Xˉn​依概率收斂于μ”。

中心極限定理

"多個獨立統計量的和的平均值，符合正态分布。"

中心極限定理用通俗的話來講就是，假設有一個服從(μ,σ2)的總體，這個總體的分布可以是任意分布，不用是正态分布，既可以是離散的，也可以是連續的。我們從該分布裡随機取n個樣本x1,x2,...,xn，然後求這些樣本的均值Xˉ，這個過程我們重複m次，我們就會得到xˉ1​,xˉ2​,xˉ3​,...,xˉm​,如果n→∞，這些樣本的均值服從

​的正态分布。

import numpy as np import matplotlib.mlab as mlab import matplotlib.pyplot as plt mu ,sigma = 0, 1 sampleNum = 10 np.random.seed(0) s = np.random.normal(mu, sigma, sampleNum) plt.hist(s, bins=100, density=True) plt.legend(labels=[ 'Number of samples %s' %sampleNum]) plt.show()

​

上圖中，随着統計量個數的增加，它們和的平均值越來越符合正态分布。

根據中心極限定理，如果一個事物受到多種因素的影響，不管每個因素本身是什麼分布，它們加總後，結果的平均值就是正态分布。在實際問題中同樣，常常需要考慮許多随機因素所産生的總影響。例如，許多因素決定了人的身高：營養、遺傳、環境、族裔、性别等等，這些因素的綜合效果，使得人的身高基本滿足正态分布。另外，在物理實驗中，免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。如果能夠分别弄清楚産生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的。但是，當所有的誤差加在一起時，實驗者通常會得到一個正态分布。

核心觀念是無論之前各值的分布情況是怎麼樣的，取樣計算的平均值會符合正态分布，這一點使得正态分布的适用範圍很大，當然前提條件是取樣是随機的，值是獨立的。一般來講取樣數量大于30個（即n>30​）就可以讓中心極限定理發揮作用。不同分布情況下取平均值後得到的正态分布可以見如下圖示

比如說，我們将一枚均勻硬币抛4次，正反（1、0）出現的可能性有16種（可用從0000到1111的16個二進制數表示），大數定律中涉及的概率p=0.5，指的是這16種情形的平均值。而所謂“分布”，則是描述這16種可能性在概率圖中分别所處的位置。從理論上說，這16種可能性中， 1出現0、1、2、3、4次的概率，分别是1/16、4/16、6/16、4/16、1/16。圖2的左圖顯示的便是當實驗次數n=4時，出現1的概率對不同“出現次數”的分布情形。

# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Tue Jul 30 18:52:49 2019 @author: ZCJOHNLV """ from scipy.special import comb # 輸入投硬币的次數 n = 4 index = [] data = [] for i in range(n 1): p = comb(n,i)*0.5**i*0.5**(n-i) data.append(p) index.append(i) print(data) import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import matplotlib matplotlib.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] # 用黑體顯示中文 matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 正常顯示負号 plt.bar(left=index, height=data, width=0.4, alpha=0.8, color='red') plt.xlabel("區間") plt.ylabel("頻數") plt.title("%s次抛硬币正面向上的頻率分布"%n) plt.show()

顯而易見，抛硬币概率的分布圖形随着抛丢次數n的變化而變化。抛硬币實驗n次的概率分布稱為二項分布。對對稱硬币來說，二項分布是一個取值對應于二項式系數的離散函數，也就是帕斯卡三角形中的第n列。當實驗次數n增大，可能的排列數也随之增多，比如，當n=4時對應于（1、4、6、4、1）；當n=5時，對應于帕斯卡三角形中的第5列（1、5、10、10、5、1）……，然後再依次類推下去。下圖中，畫出了n=5、20、50的概率分布圖。

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