在平面幾何中，全等三角形是非常重要的一個部分，而在全等三角形中，根據圖形又分成軸對稱型全等三角形、中心對稱型全等三角形、旋轉型全等三角形、平移型全等三角形。那麼如何觀察已知圖形，從而推得運用那種基本圖形來進行證明就成了關鍵。但通常情況下要證明全等時，圖形不是完整的，可能需要添加輔助線來得到完整的對應圖形。這自然就有了難度，所以如何在線段較多的圖形中得到關鍵的全等三角形？如何添出關鍵的輔助線？基本圖形分析法就教你怎麼去分析今天的三道經典例題，以及整個思考過程，一起來學習吧

例15 如圖5-40，已知：等邊△ABC中，延長BC到D，延長BA到E，使AE=BD。求證：CE=DE。

圖5-40

分析：本題的條件中出現了AE=BD，所以BE=AB AE，就等于AB BD。這是一條線段等于兩條線段的和的問題，所以可根據線段和的定義，将AB和BD這兩條線段接起來，也就是延長BD到F（如圖5-41），使DF=AB，那就可得BF=BE。而這是兩條具有公共端點的相等線段，它們就可以組成一個等腰三角形，于是聯結EF（如圖5-42），再由∠B=60°，可知△BEF不僅是一個等腰三角形，而且是一個等邊三角形，也就是BE=BF=EF，∠F=∠B=60°。而我們要證明相等的這兩條線段CE和DE就出現在這個等邊三角形的軸對稱部分，從而就可應用軸對稱型全等三角形進行證明。那麼在△EBC和△EFD中，由EB=EF，∠B=∠F和BC=FD，就可以在證明這兩個三角形全等以後證得結論。

圖5-41

圖5-42

本題在根據線段和的定義來進行分析時，也可以将線段和的問題轉化成線段差的問題來進行讨論。于是由BE=AB BD，轉化為BD=BE-AB，從而在EB上截取EF=AB，就可得BF=BD，這又是兩條具有公共端點的相等線段，它們可組成一個等腰三角形，于是聯結DF（如圖5-43），再由∠B=60°，就可得△BDF是等邊三角形，BD=BF=DF。而我們現在要證明相等的這兩條線段EC和ED可分别看作是△ECA和△DEF的邊，而在這兩個三角形中，我們有AE=BD=FD，∠CAE=∠EFD=180°-60°=120°，CA=AB=EF，所以這兩個三角形全等可以證明，分析也就可以完成。

圖5-43

例16 如圖5-44，已知：D是等邊△ABC内的一點，且AD=BD，P是△ABC外的一點，且∠DBP=∠DBC，BP=BA。求證：∠P=30°

圖5-44

分析：由本題的條件BP=BA和△ABC是等邊三角形，可得BA=BC，BP=BC，又因為∠DBP=∠DBC，就出現了BP和BC這兩條相等線段是關于BD成軸對稱的，從而就可以添加軸對稱型全等三角形進行證明。根據BP和BC關于BD的軸對稱性，就可以找到這對全等三角形應是△BPD和△BCD，于是聯結CD（如圖5-45），而在這兩個三角形中，已經有BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，所以這兩個三角形全等，∠P=∠BCD，這樣問題就可轉化成要證∠BCD=30°，但已知∠BCA=60°，所以又應證∠BCD=∠ACD。而這兩個角相等一出現，就說明這兩個相等的角是關于CD成軸對稱，所以仍然可應用軸對稱型全等三角形進行證明。根據∠BCD和∠ACD關于CD的軸對稱性，就可以找到這對全等三角形應是△BCD和△ACD，而在這兩個三角形中，已出現的條件是BD=AD，BC=AC，CD=CD，所以這兩個三角形全等，分析就可以完成。

圖5-45

例17 如圖5-46，已知：E、F分别是正方形ABCD的邊AD、AB上的兩點，∠ECF=45°，CG⊥EF，G是垂足。求證：CG=CD。

圖5-46

分析：本題要證明CG=CD，而條件中又給出了∠CDE=∠CGE=90°和CE=CE，所以△CED和△CEG應是一對軸對稱型的全等三角形，但要證明這一對三角形全等，由于CG=CD是結論不能用，所以還要再證明一個性質。

由條件∠ECF=45°，且∠BCD=90°，所以有∠BCF ∠DCE=90°-45°=45°，這是兩個角的和的問題，因而可根據兩個角的和的定義将這兩個角拼起來，也就是以C為頂點、CD為一邊，在正方形ABCD外作∠DCH=∠BCF，這樣就有∠ECH=45°，也就得∠ECH=∠ECF，而這兩個角相等一出現，也就是出現了這兩個相等的角是關于CE成軸對稱的，從而又可以應用一次軸對稱型全等三角形進行證明根據△CED和△CEG也是一對軸對稱型全等三角形可知F點的對稱點H應在ED的延長線上，因此在作∠DCH的邊CH時就應交ED的延長線于H（如圖5-47）。這樣就出現了△ECH和△ECF應是一對軸對稱型全等三角形，而它們的一組對應角，即∠CEH和∠CEF也同時是△CED和△CEG的一組對應角，所以問題就成為要證△CEH≌△CEF。而在這兩個三角形中，已經出現的條件是∠ECH=∠ECF=45°，CE=CE，所以還要再證明一個條件。由于∠CEH=∠CEF是要證的結論，不能用；∠H=∠EFC與∠CEH=∠CEF是等價的性質，也不能用；而EH=EF即使成立，但構成的是兩邊和其中一邊的對角，不能用來證明這兩個三角形全等，因而隻能證明CH=CF。

圖5-47

由于CH和CF是兩條具有公共端點的相等線段，且它們又互相垂直，所以可組成一個等腰直角三角形，也就是半個正方形。而已知四邊形ABCD也是正方形，從而又出現兩個具有公共頂點C的正方形，所以就可出現一對旋轉型的全等三角形，根據由公共頂點C發出的兩組相等線段兩兩組成全等三角形的方法，可得△CHD≌△CFB，全等的條件是CD=CB，∠CDH=∠CBF=90°，∠DCH=∠BCF=90°-∠DCF。所以CH=CF。這樣進一步就可證明△ECH≌△ECF，∠CEH=∠CEF，那麼△CED≌△CEG也就可以證明，分析也就可以完成。

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