我們都熟悉時空的概念，它是簡單的三維空間（X、Y、Z）和一個時間維度。在視覺上，一個點可以像下面這樣在時空中移動，這被稱為參考系。

• 一個在時空中移動的參考系。

所有這些參考系的合并創造了空間，而任何導緻時間移動的因素都使這些參考系在時間中移動。空間和時間是不分開的。你移動得越快，相對于其他靜止的人來說，你的時間就越慢。此外，當在一個方向上移動時，那麼你就在那個方向上收縮了！這是很重要的。當空間收縮時，時間就會變慢來補償它。我們想說明的是，時空是不可數的。讓我們看看如何說明。

不可數是什麼意思？為此，我們必須回到數字上來。

自然數包括數字1、2、3、4、......

整數包括數字..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

有理數包括數字2/3，6/8，1/2，等等。

實數包括數軸上的每一個數字。

• 自然數N、整數Z、有理數Q和實數R的嵌套。

現在我們有了數字，讓我們來看看函數。函數是一種虛構的機器，它從一個集合或空間中獲取一些東西，并将其轉換為另一個集合或空間中的其他東西。

• 一個任意的函數。

我們要看的主要有三種類型的函數：單射式（(one-to-one）， 滿射式（onto），以及雙射式（one-to-one & onto）。單射是指A中的每個元素隻映射到B中的一個元素一次；滿射意味着A映射到B的全部；雙射意味着A映射到B的全部，A中的每個元素隻映射到B中的一個元素一次。從視覺上看，它看起來如下所示：

如果兩個集合有相同數量的元素，那麼這兩個集合之間就會有一個雙射的映射。例如，請看下面這張可愛的圖片。左邊有3隻狗，右邊有3隻貓。如果我們把一隻狗和每隻貓隻映射一次，就得到一個一對一的函數。此外，我們已經涵蓋了所有三隻貓，因此這個函數是滿射的。由于它既是一一對應的，又是滿射的，所以它是雙射的。這使得我們可以提出以下命題。

命題：當且僅當兩個集合之間存在雙射，則這兩個集合具有相同數量的元素(即相等的基數)。我們記得這是一個“當且僅當”的命題，這意味着如果第一部分是真的，那麼第二部分也是真的(反之亦然)。如果兩個集合具有相等的基數，那麼這兩個集合之間就存在一個雙射。

有了這些，我們就具備了證明時空不可數所需的一切。首先，我們必須定義可數性是什麼意思。假設有一些任意的集合。讓我們稱它為S（想象一個标有S的空圓，裡面什麼都沒有）。

集合，S，是：

有限集，如果它是空的，或者具有有限個數的元素。

無限集：如果它不是有限集。

此外，集合，S，是：

可數集，如果S具有與自然數相同的基數或數字元素。

可列集，如果它是有限的或可數集。

不可數集，如果它不是可數集。

無窮大和可數性并不相互排斥，因為自然數可以達到無窮大。一個例子将有助于說明問題。讓我們看看集合S，這次我們用東西填滿它。這個集合裡有多少個橙子？

這個橙子集合是可數的。換句話說，我們可能做了以下的事情：

它看起來非常相似，我們隻是給每個橙子分配了一個自然數。你會注意到的是，這是自然數和橙子之間的雙射。因此，如果自然數和任何任意集合之間存在雙射關系，那麼這個任意集合就是可數的。這就是我們說某物是否可數的意思。

這就是我們需要證明時空是不可數的全部内容。在我們進入這個問題之前，讓我們回顧一下不同類型的數：自然數、整數、有理數和實數。有三種類型的函數：、滿射和雙射、滿射和雙射。我們還知道，如果某樣東西與自然數之間有一個雙射的映射，那麼它就是可數的。再一次熟悉下時空中的參考系：

讓我們從證明空間不可數開始。具體來說，讓我們隻從空間的一個維度開始。回頭看看參考系，選擇X空間維度。

如果你想在X空間維度上測量什麼，你會怎麼做？既然這是一個思想實驗，讓我們想象一下，有一把尺子，可以測量任何可以想象到的尺寸如2.543米，1,203,021米，1.6x10^-35米等等。

如果我想測量每一個點，我可以做一些類似下面的列表。其中，所有的Z都是整數（...，-2，-1，0，1，2，...），所有的X都是0到9之間的數字。這樣，我們将得到所有可以想象的實數。例如2.94872839000000032300，還有312,412,50,910.2419334923941、0.3333333……等等。

現在，實數是可數的還是不可數的？如果是可數，那麼在自然數和實數之間就會有一個雙射。讓我們來看看能否把它畫出來。

這是什麼意思呢？每個自然數可以映射到每一個實數。因此實數是可數的。那麼你能回答下面問題嗎：

如果你想不出來也不用擔心，答案馬上就會出現。想象一下，有一個實數a，和上面類似，讓我們把a寫成：

• a寫成小數點擴展

如果實數表中的第一個小數等于，例如5，那麼a中的第一個小數就不能等于5。此外，如果實數表中的第二個小數等于，例如，7，那麼a中的第二個小數就不能等于7。不斷地重複，你就會得到下面這樣的東西。

注意，所有的實數都列在了實數列表中，所以讓我們看看是否能在列表裡找到a。它在第一行嗎？不在，表中的第一個小數點不可能等于a的第一個小數點。它在第二行嗎？不在，第二個小數點不可能等于a的第二個小數點。第三行呢？同理，也不在。這個概念如下圖所示，它被稱為康托對角線，以格奧爾格·康托命名。

• 康托爾對角線證明了實數是不可數的。

那麼，a在哪裡？我們知道那張表包含了所有的實數，但我們剛剛發現了一個不在裡面的實數，哪裡出錯了？錯就錯在我們假設實數是可數的。換句話說，自然數和實數之間不存在雙射關系。如果沒有雙射，那麼它們就有不同數量的元素。

你可能會問，"但自然數和實數都是無限大的--無限怎麼會比無限大？" 好問題。我不知道該怎麼告訴你。

回到時空問題。如果在X方向上測量一切，這根本無法做到。換句話說，你在那個方向上可以選擇的每個數字，我總是可以選擇一個你沒有選擇的數字。現在，感受時間的流逝。時間是不可數的，我總是可以選擇一個你沒有選擇的時間點。

如果我們對時空的所有維度做與剛才相同的事情，會得到下面的東西：

• 時空是不可數的

我們已經證明，時空是不可計數的。

我自己也不确定，但這确實引出了一個不祥的問題：在我們的宇宙中存在可數或不可數的物體嗎？

你可能會問，"什麼是物體？"。讓我們來看幾個：星系的數目是可數的嗎？恒星、黑洞、原子、誇克呢？

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