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矩陣的秩和其伴随矩陣秩的關系

生活更新时间:2024-05-17 06:00:45

矩陣的秩和其伴随矩陣秩的關系?設矩陣A為n階矩陣，矩陣A＊是矩陣A的伴随矩陣，則矩陣A的秩R(A)與矩陣A*的秩R(A*)将會有以下三種關系：，我來為大家講解一下關于矩陣的秩和其伴随矩陣秩的關系?跟着小編一起來看一看吧!

矩陣的秩和其伴随矩陣秩的關系

設矩陣A為n階矩陣，矩陣A＊是矩陣A的伴随矩陣，則矩陣A的秩R(A)與矩陣A*的秩R(A*)将會有以下三種關系：

①如果R(A)=n，那麼R(A*)=n;

②如果R(A)=n-1，那麼R(A*)=1;

③如果R(A)<n-1，那麼R(A*)=0。

接下來我們就一個一個地證明這三個結論。

如果R(A)=n，那麼R(A*)=n

我們知道矩陣與其伴随矩陣存在着這樣的關系：矩陣A乘以它的伴随矩陣A*等于矩陣A的行列式乘以單位矩陣E

即 AA*=|A|E

由于矩陣A的秩為n與矩陣A的階數相等，所以矩陣A可逆。

從而，矩陣A存在它的逆矩陣B，使得 AB=E 而且B也是可逆矩陣。

進而，BAA*=B|A|E

EA*=|A|BE

A*=|A|B

又因為矩陣可逆的充要條件為矩陣的行列式不等于零，所以矩陣A的行列式|A|≠0。

也就意味着|A|B不是零矩陣，而且|A|B的行列式不等于零。

所以，A*為可逆矩陣

所以，A*的秩為n

如果R(A)=n-1，那麼R(A*)=1

因為矩陣A的秩小于矩陣A的階數，所以矩陣A不可逆。

根據矩陣可逆的充要條件，我們可以知道

矩陣A的行列式|A|=0。

從而，AA*=|A|E=0·E=0

進而，矩陣A*的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解。

由于矩陣A的秩為n-1，所以齊次線性方程組AX=0的基礎解系中向量的個數為矩陣A的列數減去矩陣A的秩，即

n-(n-1)=1

因為齊次線性方程組的每一個解都可以由其基礎解系中的向量線性表示，所以矩陣A*的秩為1。

如果R(A)<n-1，那麼R(A*)=0

借助證明“如果R(A)=n-1，那麼R(A*)=1”的過程，我們可以知道

R(A*)=n-R(A)<n-(n-1)=1

因為矩陣的秩是一個大于等于零的數，

所以，R(A*)=0。

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