極限是同學們從高中數學過渡到高等數學的第一個需要學習的概念。
那麼什麼是極限呢？
下面舉幾個例子。
1.有一天你撿到了一塊金條，但你發現每過一分鐘，金條的長度就少了1/2，随着時間的推移，金條的長度會逐漸趨近于0，但永遠不會等于0。
2.高速公路上的小型客車的最高行駛速度是每小時110公裡。
3.我對你的忍耐已經到了極限。
簡單的說極限就是變量在一定的變化過程中，因變量無限趨近于一個值。
通過以上對極限概念的簡單闡述，相信同學們都已經對極限有了大緻的了解，下面我們一起來開啟新世界的大門吧！
第一章 極限
（1）數列極限的定義
首先，我們來觀察一個簡單的數列
由函數圖像我們可以發現當n趨于 ∞時，Xn趨于0，我們記為
那麼我們要怎麼用數學語言證明數列{Xn}的極限是0呢？
首先，兩個數的接近可以用兩個數的絕對值之差來衡量，即|b-a|越小，b越接近a。
于是我們隻要證明：對∀ ε>0, |Xn-0|<ε ,
即無論ε是一個多麼小的值，數列{Xn}總能給出一個比ε還要小的值。
按照以上理論：
由此，我們可以引出數列極限的一般定義：
設數列{Xn}為一數列，如果存在常數a，對任意給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時， 不等式|Xn-a|<ε恒成立。（注：也稱數列{Xn}收斂于a,若這樣的a不存在，則說數列是發散的）
最後出一個例題來加深下同學們的印象：
分析：即證|Xn-1|<ε, 即1/(n 1)<ε,
因為1/(n 1)<1/n, 故找到 1/n<ε（n>1/ε，令N=1/ε）就能得出n>N以後的項都滿足|Xn-1|<ε。
證明：
∀ε>0, ∃ N=1/ε, 當n>N時，有|Xn-1|<ε,故原命題得證。
謝謝觀看
限于作者水平，若有不妥之處望廣大讀者指正，共同進步。
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