1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個平移就是一個向量

⑵向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個向量可用同一平面内的兩條有向線段來表示

2．空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下

運算律：⑴加法交換律：a b=b a

⑵加法結合律：（a b） c=a （b c）

⑶數乘分配律：λ（a b）=λa λb

3共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量a平行于b記作a//b．

當我們說向量a、b共線（或a//b）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．

4．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.

推論：如果ι為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那麼對于任意一點O，點P在直線ι上的充要條件是存在實數t 滿足等式 OP=OA ta．

其中向量a叫做直線ι的方向向量.

5．向量與平面平行：

已知平面α和向量a，作OA=a，如果直線OA平行于α或在α内，那麼我們說向量α平行于平面α，記作：a//α．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

說明：空間任意的兩向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果兩個向量a，b不共線，P與向量a，b共面的充要條件是存在實數x，y使P=xa yb

推論：空間一點P位于平面MAB内的充分必要條件是存在有序實數對x，y，使MP=xMA yMB或對空間任一點O，有OP=OM xMA yMB ①

①式叫做平面MAB的向量表達式

7 空間向量基本定理：

如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa yb zc

推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使OP=xOA yOB zOC

8 空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量a，b在空間任取一點O，作OA=a，OB=b則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作<a，b>；且規定0≤<a,b>≤π，顯然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=π/2，則稱a與b互相垂直，記作：a⊥b.

9．向量的模：

設OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a|.

10．向量的數量積： a·b=|a|·|b|·cos<a,b>．

已知向量AB=a和軸ι，e是ι上與ι同方向的單位向量，作點A在ι上的射影A'，作點B在ι上的射影B'，則A'B'叫做向量AB在軸ι上或在e上的正射影.

可以證明A'B'的長度|A'B'|=|AB|cos<a,e>=|a,e|．

11．空間向量數量積的性質：

（1）a·e=|a|cos<a,e>．

（2）a⊥b<=>a·b=0．

（3）|a|²=a·a．

12．空間向量數量積運算律：

（1）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．

（2）a·b=b·a（交換律）

（3）a·（b c）=a·b a·c（分配律）．

空間向量的坐标運算

一．知識回顧：

（1）空間向量的坐标：空間直角坐标系的x軸是橫軸（對應為橫坐标），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐标）.

①令a=(a1,a2,a3),b=（b₁，b₂，b₃），則a b=（a₁±b₁，a₂±b₂，a₃±b₃）

λ a=（λa₁，λa₂，λ₃）（λ∈R）

a·b=a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃=0

a//b<=>a₁=λb₁,a₂=λ₂,a₃=λ₃(λ∈R)<=>₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃

a⊥b<=>a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃=0

|a|=√(a·a)=√(a₁² a₂² a₃²)(用到常用的向量模與向量之間的轉化：|a|²=a·a=>|a|=√(a·a))

cos<a,b>=a·b/|a|·|b|=（a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃)/ √(a₁² a₂² a₃²)·√(b₁² b₂² b₃²)

②空間兩點的距離公式：d=√[(x₂-x₁)² (y₂-y₁)² (z₂-z₁)²].

（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α那麼向量a叫做平面α的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面α的法向量，AB是平面α的一條射線，其中A∈α，則點B到平面α的距離為|AB·n|/|n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設n₁，n₂分别是二面角α-ι-β中平面α，β的法向量，則n₁，n₂所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（n₁，n₂方向相同，則為補角，n₁，n₂反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線a≠不包含平面α，A·B∈a，C·D∈α，且CDE三點不共線，則a∥α的充要條件是存在有序實數對λ·μ使AB=λCD μCE.（常設AB=λCD μCE求解λ,μ若λ,μ存在即證畢，若,λμ不存在，則直線AB與平面相交）.

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