昵稱為“Zach”的讀者朋友問到下面的問題：

左老師，這道題看了解析以後總覺得怪怪的，但是又沒有強有力的證據支持我的想法，所以想問問您 .

這道題有三點疑惑.

第（1）處那裡，它是同時用了兩個基本不等式.

請問，這裡滿足基本不等式中的“正、定、等”嗎？

不是說相加或相乘要為定值嗎？但（2x-1)*1也不為定值啊.

第（2）處那裡.即便第（1）處沒有問題，在連用兩個基本不等式之後，已經是前一個式子的最小值，這裡又再用一次基本不等式求最小值的最小值，合理嗎？

第（3）處，因為用了三次基本不等式.當然要有三個當且僅當.

這樣解雖然使用了基本不等式，但是右邊的式子并不是定值，結果正确嗎？

顯然，當x=2時，（9-2x）x的值等于10>9，所以上面的解法錯誤.

錯誤是如何發生的呢？

我們分别畫出兩個函數f(x)=(9-2x)x，g(x)=[(9-x)/2]^2的圖象.

從上圖我們能看出：随着x的變化，(9-2x)x、[(9-x)/2]^2也都在變化，而且(9-2x)x始終小于等于[(9-x)/2]^2.

而且，當9-2x=x即x=3時，(9-2x)x等于[(9-x)/2]^2.

這些都沒有錯.

但是來了.

但是取等号時的位置并不是取最值的位置.

怎樣能保證取等号時就是最值呢？

答案是：必須定值！

看正确解法.

再看圖象，我們畫出函數兩個函數f(x)=(9-2x)x，g(x)=81/8的圖象.

看出定值的好處來了嗎？

因為是定值，它的圖象是一條平行于x軸的直線，這樣就保證了——f(x)的圖象都在直線的下方，取等号的位置就是最值的問題.

最後就到了“等”的要求了.

無需多言，如果等号取不到，最值顯然也取不到.

2

可以多步到達“定”，隻要多個等号能同時取得

從上面的分析我們能看出，用基本不等式求最值不僅要求“一正二定三相等”，而且順序都不能變——先要求"正"，再要求"定"，最後研究取等的條件是否滿足.

當然，如果隻是使用基本不等式研究兩個變量的不等關系，隻要明白“正”和“相等”就夠了.

比如，我們隻是比較0<x<9/2時，（9-2x)x與（9-x)^2/4的大小關系.

首先确定是否為正數.

然後使用基本不等式，知道（9-2x)x<=（9-x)^2/4.

最後我們确定，當9-2x=x即x=3時，二者相等.

這就為“定值”提供了另外一種路徑——多步到達“定值”.

畫出圖來，是這樣的感覺.

隻要中間的兩個等号能夠同時取得，f(x)也能取得最小值.

所以，你提供的答案解析是可行的.

回到你的問題：如果中間的幾個等号不能同時取得，怎麼辦？

那就說明，這個解法行不通，要換别的思路.

畫出圖來，就類似于這樣.

從上圖看出，兩個取等條件不一緻，所以最終取不到最值.

3

有無其它解法？

你問是否有易于理解的解法？

我想，你的意思是問，有沒有一步到位的解法？

也有，但同時需要學一點基本不等式的拓展——從二元到多元.

上面的解法中，用到了四元的基本不等式.

實際上，基本不等式可拓展到n元.學霸筒子們可參考.

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