對于上一篇我們留下的證明題,問題是作出合适的分割,證明等式√3√5=√15成立。證明如下:
證:作一個确定√3的分割A/B,一切負有理數a3的正有理數歸于集合B類。
再作一個确定√5的分割A'/B',一切負有理數a'3的正有理數歸于集合B'類。
我們根據有理數乘法,易知,a>0,a∈A,a'>0,a'∈A'時,有(aa')²< (√3√5)²=15,另一
方面又有b∈B,b'∈B'時,(bb')²<(√3√5)²=15,故有aa'<√15<bb',因此知A''={aa'| a∈A,a'∈A'}
與B''={bb'| b∈B,b'∈B'}構成一個新的切割,
這個切割确定了一個實數√15,證畢。
我們知道無理數居然稠密性,但并不具有連續性,也就是說,有理數并不能填滿數軸,而是存在無數空隙,下面我們将通過戴德金定理來了解一旦有了無理數的加入,那麼這些空隙将會被填補,進而證明了實數具有連續性(完備性)。
實數切割定義:
設有兩個非空實數集合A與B,滿足條件:A∪B=R且對任意的x∈A與任意的y∈B,有x<y,則稱集合A與B構成實數集合R的一個切割,記為A/B。
戴德金定理:
設A/B為實數集R的一個切割,則或者A有最大值,或者B有最大值。
證:設A'是實數集A中所有有理數構成的集合,B'是實數集B中所有有理數構成的集合,則A'/B'構成有理數Q的一個切割,對于有理數色切割,我們由上篇文章知道有三種情況分别是:
①、集合A'中有最大數a',集合B'中無最小數b'。
②、集合A'中無最大數,集合B'中有最小數。
③、集合A'中無最大數,集合B'中無最小數。
對于情況①,我們用反證法,如若在A中存在a>a'(一定要看清A跟A'),這則由有理數的稠密性,在區間(a',a)中必定存在一個有理數c>a',這與a'是A'中是最大值産生矛盾,因此a'是A中最大值。
對于情況②與①類似,易證。
對于情況③,我們知道确定了一個無理數c,c∈R=A/B,那麼我們知道要麼c在A中,要麼C在B中,若c在A中,存在一個數d>c且d∈A,那麼根據有理數的稠密性在區間(c,d)中必能找到一個有理數大于無理數c,那麼切割A/B就确定一個大于c的數,與A/B确定無理數c矛盾,因此c為A中最大數。證畢。
因此從戴德金定理可以看出,隻要在實數中切割A/B,隻能是最大值要麼在A中,要麼在B中,那就不存在有空隙了,因為要是有空隙,那麼就會産生兩邊都沒有最值情況,不滿足戴德金定理,因此實數具有完備性。
下面我們将介紹确界存在性定理,單調有界收斂定理,閉區間套定理,有限覆蓋定理,聚點定理,波爾查諾——魏爾斯特拉斯定理、柯西準等七大定理,用簡潔思路去分析這幾大定理。
思考一下:能否建立一個确定2∧√3的分割。
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