對于上一篇我們留下的證明題，問題是作出合适的分割，證明等式√3√5=√15成立。證明如下：

證：作一個确定√3的分割A/B，一切負有理數a3的正有理數歸于集合B類。

再作一個确定√5的分割A'/B'，一切負有理數a'3的正有理數歸于集合B'類。

我們根據有理數乘法，易知，a>0，a∈A，a'>0，a'∈A'時，有(aa')²＜ (√3√5)²=15，另一

方面又有b∈B，b'∈B'時，(bb')²<(√3√5)²=15，故有aa'<√15<bb'，因此知A''={aa'| a∈A，a'∈A'}

與B''={bb'| b∈B，b'∈B'}構成一個新的切割，

這個切割确定了一個實數√15，證畢。

我們知道無理數居然稠密性，但并不具有連續性，也就是說，有理數并不能填滿數軸，而是存在無數空隙，下面我們将通過戴德金定理來了解一旦有了無理數的加入，那麼這些空隙将會被填補，進而證明了實數具有連續性（完備性）。

實數切割定義：

設有兩個非空實數集合A與B，滿足條件：A∪B=R且對任意的x∈A與任意的y∈B，有x＜y，則稱集合A與B構成實數集合R的一個切割，記為A/B。

戴德金定理：

設A/B為實數集R的一個切割，則或者A有最大值，或者B有最大值。

證：設A'是實數集A中所有有理數構成的集合，B'是實數集B中所有有理數構成的集合，則A'/B'構成有理數Q的一個切割，對于有理數色切割，我們由上篇文章知道有三種情況分别是：

①、集合A'中有最大數a'，集合B'中無最小數b'。

②、集合A'中無最大數，集合B'中有最小數。

③、集合A'中無最大數，集合B'中無最小數。

對于情況①，我們用反證法，如若在A中存在a>a'（一定要看清A跟A'），這則由有理數的稠密性，在區間(a'，a)中必定存在一個有理數c>a'，這與a'是A'中是最大值産生矛盾，因此a'是A中最大值。

對于情況②與①類似，易證。

對于情況③，我們知道确定了一個無理數c，c∈R=A/B，那麼我們知道要麼c在A中，要麼C在B中，若c在A中，存在一個數d>c且d∈A，那麼根據有理數的稠密性在區間(c，d)中必能找到一個有理數大于無理數c，那麼切割A/B就确定一個大于c的數，與A/B确定無理數c矛盾，因此c為A中最大數。證畢。

因此從戴德金定理可以看出，隻要在實數中切割A/B，隻能是最大值要麼在A中，要麼在B中，那就不存在有空隙了，因為要是有空隙，那麼就會産生兩邊都沒有最值情況，不滿足戴德金定理，因此實數具有完備性。

下面我們将介紹确界存在性定理，單調有界收斂定理，閉區間套定理，有限覆蓋定理，聚點定理，波爾查諾——魏爾斯特拉斯定理、柯西準等七大定理，用簡潔思路去分析這幾大定理。

思考一下：能否建立一個确定2∧√3的分割。

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