1945年意大利物理學家、數學家吉羅拉莫·卡爾達諾出版了一本《大衍術或代數學的規則》在數學界掀起了一場軒然大波。在書的開頭，介紹了标準的線性和二次方程的解法，然後是當時的未知領域，三次和4次代數方程求解的完整過程。這本書自問世，影響了16世紀整個歐洲數學的發展。直到韋達和笛卡爾的出現，這本書的地位才被取代。《大衍術》剛剛出版，一位意大利數學家塔爾塔利亞開始攻擊卡爾達諾。盡管卡爾達諾在書中的幾個場合聲明，書中一些基本的三次方程解法應歸功于塔爾塔利亞。而塔爾塔利亞堅持說，當他向卡爾達諾展示它的解法時，卡爾達諾作為一個基督徒和紳士，信誓旦旦的承諾會在塔爾塔利亞的書之後出版自己的書。

歐洲文藝複興開始于14世紀，是沉睡了1000年的歐洲智慧的蘇醒和重生。臨近15世紀末代數學裡出現了數學史上第1個激動人心的時刻。早在古希臘，阿拉伯和印度數學家們已經可以解線性方程和二次方程。

阿拉伯數學家早在9世紀就針對某些三次方程，給出了幾何解法，甚至是猜想。直到到1510年到1515年之間，博洛尼亞大學的數學教授皮奧内·德爾·費羅提出了第1個三次方程的代數學解法，一次真正的突破。他發明了一個解決“壓縮的三次方程”的代數公式。

16世紀初，不是一個熱衷發表的年代，沒有同行評議的期刊，更沒有互聯網。如果誰能有個新的發現，會千方百計的設法将其嚴格保密，隻有在确實有利時才會公開的使用。是不是很那理解！

而且當時數學上流行公開的挑戰，挑戰的結果可是直接關系到數學上的地位和名望。德爾·費羅在1526年去世，他将“壓縮的三次方程”的解法論文傳給了他的女婿安尼貝勒·德拉·納夫，以及另一個學生安東尼奧·瑪麗亞·費爾。

費爾如獲至寶，憑借着“秘籍”回到家鄉威尼斯，成為了一個數學老師，并高調的放出聲：他在解三次方程方面有特殊才能。在不經意間聽到另一個威尼斯的數學老師塔爾塔利亞也有這種本事。要麼說同行是冤家呢！于是費爾向塔爾塔利亞發出公開的挑戰。

塔爾塔利亞

1499年，塔爾塔利亞出生在意大利北部的布雷西亞，其父親是一名郵差，家境貧寒，所以數學和科學知識都是靠自學。塔爾塔利亞在威尼斯定居後，以教數學為生。那時的數學老師，通過參加公開的論戰和辯論，竭盡所能在公衆面前保住聲譽。

塔爾塔利亞

塔爾塔利亞曾暗示一位同事他已經解決了形如

的方程，這對費爾形成一個直接的挑戰。1535年初，費爾公開向塔爾塔利亞挑戰。按照他們的協議：每個人向對方出30道題，30天後，誰解的題多，誰就是勝利者。不用擔心，沒人能得到幫助和耍老千。

沒人知道在論戰指出塔利亞到底知道多少，但在1535年2月13日的晚上，他解決了兩種形式的常數三次方程，這是一個巨大的成功。

這意味着他能解決費爾的全部題目。知己知彼，百戰不殆。另一方面，塔爾塔利亞充分意識到費爾隻能解一種三次方程。結果可想而知，塔爾塔利亞大獲全勝，費爾在公衆面前銷聲匿迹。

獲勝的塔爾塔利亞，名聲大噪，學生數量急劇增長。塔爾塔利亞選擇嚴格保密他的新方法，以确保他在代數學的争端中保持常勝。衆所周知，數學是個有實際用處的工具。當時西方列強在争奪意大利，将數學應用于彈道學是一個熱門課題，塔爾塔利亞也投身其中。1537年，塔爾塔利亞不再關注三次方程，而去鑽研彈道學，并出版了一本書《新科學》。正在前途一片光明的時候，另一個危險的對手吉羅拉莫·卡爾達諾殺了進來。

文藝複興時期“多才多藝”的男人，卡爾達諾

卡爾達諾1501年生于帕維亞，父親教他初步的數學知識，12歲以後，學習歐幾裡得幾何。卡爾達諾的父親是受過良好教育的律師和幾何學講師。卡爾達諾的父親希望他學習法律，盡管在數學上有過人的天賦，卻想以醫學為業。19歲時進入帕維亞大學，21歲時開始參加有關歐幾裡得幾何的公開辯論和演講。後轉學到帕多瓦大學，25歲時在那裡獲得醫學學位。

卡爾達諾

卡爾達諾，性情急躁，報複心強，容易發怒，經常卷入嚴重的争吵中。從1524年到1547年，他官司纏身，更重要的是全都勝訴。不難想象，如果能像他父親期望的那樣學習法律，想必也會成為一名優秀的法官或律師。

在醫學界，卡爾達諾聲譽日隆。16世紀30年代，他可能已成為意大利北部最受歡迎的醫生。1537年，被邀請在帕維亞大學教授醫學，但被他拒絕。真是有性格，任性呀！

卡爾達諾之所以被稱為文藝複興時期的男人，是因為除了在醫學，在其他幾個迥異的領域成就非凡。比如他還是一個資深的賭徒，出版了非常受歡迎且實用的賭徒手冊。其中包括了一些概率方面的先進知識，當然少不了千術。

卡爾達諾出生在一個迷信的家庭，繼承了家族的傳統。他還為達官顯貴們占星。精通數學和天文學的人經常幹這事兒。雖然卡爾達諾對他的能力頗感自豪，但這些行當讓他陷入各種各樣的麻煩當中。聰明反被聰明誤。

卡爾達諾的大衍術。使三次方程和4次方程的代數方法為人所知，這是一個巨大的貢獻。

導火索

聽說塔爾塔利亞戰勝了費爾之後，卡爾達諾曾請求塔爾塔利亞，允許在他的書中披露塔爾塔利亞的三次方程解法，他承諾這種解法将完全歸功于塔利亞。

塔爾塔利亞随即回複：她正計劃自己寫一本書，将在書中清楚的說明三次方程解法。但由于還有其他大量的工作要做，并沒有說什麼時候出版這本書。卡爾達諾并不滿足于這個回複，于是不屈不撓的百般懇求。

在留存的信件當中，可以看出兩個人的關系，時而緊張，時而輕松。卡爾達諾稱塔爾塔利亞貪婪并吝于助人。比如猛烈地批評塔爾塔利亞彈道學著作中的一些成果，塔爾塔利亞當然會亮劍接招，做出激烈的回複。兩人都不是善茬，真真是棋逢對手。

卡爾達諾有計劃、有預謀的去達到自己的目的。作為計劃的一部分，卡爾達諾友好的邀請塔爾塔利亞到家中做客，并不失時機的指出，他還會有更多的表示。卡爾達諾聲稱他非常有興趣解決純粹的學術争端，最終他的詭計得逞，他以一個大人物阿方索·德·阿瓦洛斯的名義，給塔爾塔利亞寫信道：“必須首先聲明，我很崇敬你，關于彈道學的書一問世，我就買了一本，送了一本給侯爵先生(德·阿瓦洛斯)。”而德·阿瓦洛斯是西班牙人總督，帝國軍隊首領，是當時意大利最具有影響力的人物之一。

在1539年3月13日的另一封信中，卡爾達諾寫道：德·阿瓦洛斯急切的命令我，以他的名義立即寫這封信給你，建議你見信後務必到米蘭來，因為他很想與你談談。塔爾塔利亞非常清楚的意識到與德·阿瓦洛斯的友誼會對他有很大的幫助，于是回複：盡管我不願意去那邊，但我會去的。

不出所料，當塔爾塔利亞到米蘭的時候，德·阿瓦洛斯不在。很難說這是故意欺騙還是顯貴日程匆忙？如果是欺騙，這将是一個很複雜和危險的方案，因為拿着邀請函的塔爾塔利亞，如果直接給德·阿瓦洛斯寫信的話，卡爾達諾就是搬石頭砸了自己的腳。似乎卡爾達諾也能做出這種聰明反被聰明誤的事情。

卡爾達諾設法從塔爾塔利亞那裡套出“三次方程解法”，塔爾塔利亞不會傻到拱手交出。他給卡爾達諾的是解決壓縮了的方程規則，并且以加密了的詩句的形式給出。雖然後來他清楚的向卡爾達諾做出了解釋。

1539年9月，卡爾達諾的《通用算術實踐》出版，書中沒有塔爾塔利亞的解法。塔爾塔利亞對書中的錯誤給出了一些解釋。事實上，他是在取笑卡爾達諾的書。接下來的一段時間，卡爾達諾在醞釀另一本書《大衍術》，書中收錄了很多基礎成果。他清楚的意識到三次方程的解法對該書的成功與否意義重大。所以他和能幹的助手盧多維科·費拉裡，在一起花了數年時間揣摩出塔爾塔利亞那些詩句的意思，并進行了拓展。

大衍術

關于三次方程的内容在第11章中出現，這一章的名字是“關于立方加一次方等于常數”。塔爾塔利亞給卡爾達諾的法則涵蓋了三次方程的三個基本形式。

當時的數學家不會用負系數，沒有我們現在所用的代數符号，所以沒有采用簡單、通用的形式：

卡爾達諾的《大衍術》運用了大量的幾何知識。正如威廉·頓漢姆在他的《天才之旅》中所說：“他的證明純粹是幾何的，包括了用文字書寫的立方體和它們的體積。實際上，當我們回想一下當時代數符号落後的情形，以及在文藝複興時期數學家心目中古希臘幾何學的崇高地位，我們就不會為之吃驚了。”

在《大衍術》每一章中，卡爾達諾首先給出一個特别數值三次方程的幾何說明，再寫出解決該方程的一般方法，然後舉出一道或多道例題，并應用法則去解它。因為用0和負數做系數還沒有出現，卡爾達諾隻能詳細說明13種不同的三次方程，每種都隻用正系數，且獨立成章。然而幾何解法拐彎抹角且冗長，使人人費解難懂。

神聖的諾言

毫無疑問，在這個領域卡爾達諾的貢獻巨大，但對塔爾塔利亞似乎有點背信棄義，假如他們之間有一個保密的神聖許諾的話！基于塔爾塔利亞的聲明，是存在這樣一個承諾的。出版《大衍術》後第2年，塔爾塔利亞出版了《各種問題和發明》，書中保留了他們會面的詳細記錄，以及卡爾達諾給他的承諾：“我按着神聖的福音書起誓，以一個紳士的名義保證，不僅在你告訴我你的發現之後，永不出版它；而且我以一個真正的基督徒的名義承諾，保證把它們當密碼一樣潛藏在心裡，即使在我死後，沒有人能夠理解他們。”

有人指出一個事實：卡爾達諾和塔爾塔利亞會面時，卡爾達諾的秘書和助手盧多維科·費拉裡也在場，費拉裡後來振振有詞的賭咒說，卡爾達諾從來沒有發過那樣的誓。确實沒人能否定塔爾塔利亞會對會面記錄做出歪曲修改，更何況是盛怒之下的塔爾塔利亞。

《大衍術》出版6年後，卡爾達諾和弗拉裡聽說另有他人擁有三次方程的解法，于是在1543年來到博洛尼亞，拜訪他們的同道安妮貝勒·德拉·納夫。在那裡，他們被允許查看西皮奧内·德爾·費羅的手稿，由此他們得知，德爾·費羅才是最早用代數方法解決此類方程的人，而不是塔爾塔利亞。基于此他們認為：塔爾塔利亞不是這種方法的原創者，即使卡爾達諾曾立下誓言，也是一個無效的誓言。

盡管如此，卡爾達諾在宣布自己發現三次方程求解法則的問題上很謹慎。在三個地方，他引用了前人在解三次方程上的成果。在第1章開始不久，他寫道：“在我們的時代，博洛尼亞的西皮奧内·德爾·費羅已經解決了三次方加一次方等于常數的情況，這是個了不起的、令人佩服的成就。”

在第11章開頭寫道，塔爾塔利亞在我的懇求下，把解法給了我。借助這個法則的幫助，我找到了實證，這确實是一件困難的事。

在秘書兼助手盧多維科·費拉裡的幫助下，以開始使用的方法為踏腳石，通過運用恰當的代入法，将它們變成我們熟知的形式，找到了三種其他三次方程的解法。在費拉裡的再次幫助下，卡爾達諾也展示了怎樣以這些三次方程解法為基礎去尋找4次方程的解法。并且卡爾達諾指出，三次方程應該有三個根。

戰火的延續

盡管得到了卡爾達諾的承認，塔爾塔利亞也還是怒火中燒。塔爾塔利亞在他的書《各種問題和發明》的後半部分，全力批判卡爾達諾和他的《大衍術》。塔爾塔利亞嘲笑卡爾達諾的數學能力，否認曾經給過卡爾達諾承諾，并指控他剽竊。

脾氣暴躁的費拉裡面對此種情形，于1547年2月10日，以一封挑戰書做出了回應，宣稱塔爾塔利亞幾乎可以在任何科學課題上向他挑戰與他辯論。費拉裡把挑戰書同時傳給全意大利的很多學者和顯貴，以至于塔爾塔利亞很難拒絕。費拉裡的攻勢兇猛，認為塔爾塔利亞利用攻擊他人來給自己碑立傳；在自己書中發表了一個沒被承認的證據，證明他的成果被剽竊；具有諷刺意味的是他的書裡充滿了錯誤。

對此塔爾塔利亞回應說，他想挑戰的是卡爾達諾，而不是他的學生費拉裡。盡管如此，塔爾塔利亞隻好勉強同意，接受挑戰。費拉裡堅持：卡爾達諾的解法應歸功于德爾·費羅和費爾，因為兩人都早于塔爾塔利亞找到三次方程的解法，對此我們無須宣誓保密。在接下來8個月的戰鬥中，塔爾塔利亞敗下陣來，費拉裡宣布獲勝，而卡爾達諾壓根就沒有參加。

塔爾塔利亞失去了家鄉的職位，而費拉裡收到了很多待遇不錯的邀請。塔爾塔利亞失去了公衆對他的尊重和享有的聲譽，痛苦萬分的塔爾塔利亞意圖将他的痛苦發洩到卡爾卡諾身上。他隐退到圈子的一角，憤怒的等待着，觀望着，謀劃着。

複仇

塔爾塔利亞設法用一個複雜的計謀，誘使卡爾達諾上當，并利用卡爾達諾與戈那紮加的友情和教皇對占星術的沉溺。戈那紮加是米蘭的總督，也是教皇的對手。因此，塔爾塔利亞有個主意：通過巧妙安排，要求卡爾達諾作為一個占星家和醫生為教皇服務。可以由此激起某種針對政治密謀的指控。但志得意滿的卡爾達諾，不需要任何保護人，以個人原因拒絕了邀請。塔爾塔利亞接着向人們灌輸，卡爾達諾想通過拒絕邀請來冒犯教皇陛下。塔爾塔利亞還抄寫了一份卡卡爾達諾早年對耶稣的占星分析，意在表明這是在亵渎神明。此時的形勢對卡爾達諾很不利，但還不至于擊倒卡爾達諾。不會善罷甘休的塔爾塔利亞接着謀劃另一場戰役。

卡爾達諾事業如日中天，把持着帕維亞大學的醫學講師，這為他赢得了物質财富、寫作時間和崇高威望，各種各樣的邀請接踵而至。看到風光的對手，塔爾塔利亞努力的克制自己，就像當初卡爾達諾纏着塔爾塔利亞那樣，倔強的塔爾塔利亞怎會放過讓自己身敗名裂的卡爾達諾。正所謂天道循環，出來混遲早是要還的。終于，女神垂青于他。

卡爾達諾在很多方面都很幸運，但他的兩個兒子和一個女兒，都在為他鋪着走上毀滅的路。得益于卡爾達諾的顯赫，他的女兒齊亞拉嫁給了貴族世家。不幸的是，齊亞拉是一個生活放蕩的女人。因此不僅被要求解除婚約，還要求卡爾達諾作出賠償。1557年和1558年兩年，卡爾達諾深陷法律和教會的糾紛中難以脫身，曾經光環無比的名聲開始損毀。禍不單行，另一個麻煩來了，1557年12月他最喜愛的大兒子簡巴蒂斯塔結婚了。卡爾達諾本來期望老大能娶一個好女人，但卻選了一個窮困沒落人家的女兒，一家人指望卡爾達諾能扶持他們，而卡爾達諾确實在他們身上花費了巨大的資金。兩年後。簡巴蒂斯塔的妻子死于砒霜中毒，卡爾達諾的兒子以謀殺罪被捕。卡爾達諾竭盡所能證明兒子是無辜的，但簡巴蒂斯自己做了坦白交代而被處決。卡爾達諾被籠罩在這個陰影中，同時極大影響了他的神智，開始變得疑神疑鬼，懷疑有人對他圖謀不軌。他的另一個酒鬼和賭鬼兒子阿爾多又給他帶來了新的麻煩，債台高築、無法相處。

現在有人圖謀把卡爾達諾從帕維亞大學的醫學講習上趕下來，接着就是剝奪他在米蘭的更有威望的大學裡的席位，1653年，他被取消了講師資格，還被控犯了好幾種罪。

1570年10月13日，塔爾塔利亞給了卡爾達諾雙重打擊。利用卡爾達諾親生兒子阿爾多作為告密者，透露卡爾達諾的行蹤，塔爾塔利亞把他交給了裁判所。并收集對卡爾達諾的不利證據多年，其中一條“罪證”是，卡爾達諾拒絕教皇的邀請，不去做他的占星家和醫生。卡爾卡諾關于耶稣的命盤分析是災難性的，一些斷章取義的說法會被解讀為亵渎神明。于是卡爾達諾受審，幸運的是卡爾達諾沒被處死，而是被投入監獄。他近乎絕望的尋求幫助，求救被教會漢米爾頓大主教得知，最終得到營救。事情至此，塔爾塔利亞的複仇終于算是成功了。卡爾諾死于1576年，不到一年，塔爾塔利亞也随他而去。

塔爾塔利亞那偉大而富有創意的三次方程的解法，對數學的發展是有着劃時代意義的！而卡爾達諾這一“多才多藝”同時包含着種種缺點的歐幾裡得式的人才，對數學的貢獻也是巨大的。暴躁的天才費拉裡和卡爾達諾與塔爾塔利亞，在那個時代沒能做好充分的合作和交流，在争鬥中消耗了彼此，這成就了數學的發展，也可能限制了數學的發展。

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