盡量不要去研究高斯歐拉做不出來的數學問題

----題記

(1)超越數遠遠多于有理數

無理數，實數域内有理數集的補集的元素，英文稱之為irrational number，直譯過來是不可理喻的數的意思。深究起來，有些無理數是名副其實的不講道理的數，這一部分無理數稱之為超越數。稍微能講一些道理的無理數，稱之為代數無理數。

區分一個數是超越數還是代數無理數，其标準為看這個數是不是系數為有理數(整數)的多項式的複數根。如果x為多項式

超越數不可能是系數為有理數(整數)的多項式的複數根

的複數根，那麼x為代數數。否則x為超越數。

最早被數學家發現的無理數是根号2，數學家們在三角形上發現了這個數。請看視頻

最有名的超越數有可能是圓周率

圓周率

數學家們已經證明，幾乎所有的無理數都是超越數，驚喜不驚喜？

(2)無理數的困境

a.薛定谔的無理數

數學家們很難證明任意給出的一個數是無理數還是有理數。既有的證明方法一般用反證法，比較單薄。

你可能會奇怪，不是有了通用的判别無理數的方法麼？用兩個整數的比一比。兩個整數比一比的方法看起來簡單易用，為有理數而來，對無理數不實用。

數學家證明了如果正整數n不是完全平方數，那麼

有理數無理數

不是有理數是無理數。這個定理的局限性很明顯，不适用于正整數之外的數。

數學家還證明了幾乎所有大于1 的有理數都是某個無理數p的p次方。這證明看起來很不錯了，但用起來依然有很多束縛。怎麼找出那個p？(0, 1)裡不可數的無窮多的數怎麼辦？

數學家證明了，如果a和 b都是代數數，a不等于0和1 ，并且b為無理數，那麼a的b次方一定是超越數。利用這個定理可以反向枚舉出很多無理數，難點在得先說明a與b是不是代數數，不知道的話還用不了這個定理。隻有a, b符合定理要求的性質了才能給出一個無理數。比如這些數是由這個定理找出來的：

超越數transcendental number.

還有其他定理，劉維爾定理等等，各有各的用處，各有各的局限，不一一列舉。

b.薛定谔的運算性質

請看無理數已知的一些運算性質：

有理數？無理數？

不可理喻的無理數，越說越探不出究竟，捏造了這麼一個詞語：薛定谔的無理數。至于這個薛定谔是哪個薛定谔，還請讀者們來評議。數學家一直陷在無理數的薛定谔困境裡，等着天才少年來脫困。數學家需要無理數的萬有引力公式，不喜歡疊加态。

你是那個少年天才麼？

（本文視頻圖文皆為原創，未經允許不得轉載)

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